Bonjour,
Ex 1
1) Un+1 - Un = 2(n + 1) + 1 - 2n - 1 = 2 ⇒ (Un) croissante
2) Un+1 - Un = (n + 1)² + 5 - n² - 5 = 2n + 2 > 0 ⇒ (Un) croissante
3) Un+1 - Un = (n + 1 - 1/2)² - (n - 1/2)² = 2n > 0 ⇒ (Un) croissante
4) Un+1/Un = 1/4 et U0 = 1 > 0 ⇒ (Un) décroissante
5) Un+1 - Un = - n - 1 + 1/(n + 1) = [-(n + 1)² + 1]/(n + 1) = -(n² + 2n)/(n + 1) < 0
⇒ (Un) décroissante
6) Un+1/Un = 1/4 < 1et U0 = -1 ⇒ (Un) croissante
Ex 2)
Méthode 1 :
Wn+1/Wn = √(7(n+1) - 6)/√(7n - 6) = √[(7n + 1)/(7n - 6)]
∀ n ∈ N / n ≥ 1, 7n + 1 > 7n - 6 ⇒ (7n + 1)/(7n - 6) > 1 ⇒ Wn+1/Wn > 1 ⇒ Wn+1 > Wn (Wn est toujours positif)
Méthode 2 : par récurrence
W1 = √1 = 1 et W2 = √8 donc W2 > W1
Supposons qu'au rang n, Wn+1 > Wn
Au rang n+1 : Wn+2 = √[7(n + 2) - 6] = √(7n + 8)
et Wn+1 = √[7(n + 1) - 6}] = √(7n + 1)
∀ n ≥ 1, 7n + 8 > 7n + 1 ⇒ Wn+2 > Wn+1
donc propriété héréditaire ⇒ (Wn) croissante
Ex 3)
Vn+1 = Vn² et V₀ = 3/4
i)...
ii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x² < 1
iii) 0 < V₀ < 1
⇒ 0 < V₀² < 1 soit 0 < V₁ < 1
Supposons qu'au rang n, 0 < Vn < 1
Au rang n+1 : Vn+1 = Vn² ⇒ 0 < Vn+1 < 1
⇒ ∀ n ∈ N, Vn ∈ ]0;1[
iv) on en déduit (Vn) décroissante
2) V₀ = 2
alors (Vn) croissante : ∀ x ∈ [2;+∞[, x² > x ⇒ Vn+1 > Vn
3) V₀ = 3/2
alors (Vn) croissante ...idem (3/2 > 1)
