Bonjour,
Plusieurs étapes pour ce problème... qui ressemble à une configuration Thalès si on sait bien regarder !
Etape 1 : triangle NAM rectangle en A et triangle BAD rectangle en A
Par hypothèse, A, N et B d'une part et A, M et D d'autre part sont alignés et ceci dans le même ordre.,
AM = AD - MD = 75 - 27 = 48
On calcule que :
AB/AN = 45/28,8 = 1,5625
AD/AM = 75/48 = 1,5625
Donc AB/AN = AD/AM
Les deux hypothèses de la réciproque du théorème de Thalès étant vérifiées, on en déduit que : (NM) // (BD).
Etape 2 : La longueur de MN avec Pythagore
MN est l'hypoténuse dans le triangle NAM rectangle en A
MN² = AM² + AN²
MN² = 48² + 28,8²
MN² = 2304 + 829,44
MN = √3133,44
La longueur de MN en valeur exacte est √3133,44
et en valeur approchée MN ≈ 55,98
Etape 3 : Nature du triangle NMC...
Je propose une solution avec la trigonométrie...
- Dans le Triangle NAM rectangle en Aje propose de calculer l'angle M
Tan(angle M) = AN/AM = 28,8/48 = 0,6
atan(0,6) ≈ 31°
- Dans le triangle MBC rectangle en B je propose de calculer l'angle M
Tan(angle M) = BC/BM = 45/27 = 5/3
Atan(5/3) ≈ 51°
Calcul de l'angle NMC
Angle AMB = 180° (c'est un angle plat)
Angle CMN = Angle NMC - (angle AMN + angle BMC)
Angle CMN = 180° - (31° + 51°)
Angle CMN = 180° - 90°
Angle CMN = 90°
Le triangle CMN est donc rectangle en M.
