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résolu

Bonjour j'ai cette exercie a faire mais ca fait plusieurs jour que je bloque dessus ducoup j'ai demandé de l'aide a mon prof et il m'a dit que je devais d'abord faire la forme cannonique de l'expression qui suit et que ces info :
a(x-alpha)²+3
f(0)=2,25
f(18)=0
allait me permettre de creer une equation verifiée par alpha et a voila l'ennonce:

L’entraîneur d’une équipe de basket de volley-ball a analysé le service de ses joueurs. On s’intéresseà la trajectoire d’un service effectué par le passeur de l’équipe. Cette trajectoire est un arc deparabole. Le terrain mesure 18 m de longueur et le filet d’une hauteur de 2, 43 m est situé au centre du terrain.La hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce service est de 3 m. L’entraîneur évalue qu’un telservice passe à plus de 40 cm au-dessus du filet.

On note α l’abscisse du sommet de la parabole.
1) Démontrer que αalpha satisfait l’égalité suivante :
2, 25 alpha²+ 27alpha− 243 = 0.
2) Déterminer la valeur de alpha.
3) En déduire l’équation de la parabole décrivant la trajectoire de la balle.
4) Que penser de l’évaluation de l’entraineur ? Justifier clairement.

Répondre :

COPILOTEVIZ
bonjour.

1) on sait que f(x) = a(x - alpha)² + 3, et on a les images des f(0) et f(18).
donc f(0) = a(alpha)² + 3 et f(18) = a(18 - alpha)² + 3 = a(18² + alpha² - 36alpha) + 3.

on peut donc écrire a(alpha)² + 3 = 2,25, donc a(alpha)² = -0,75
et a(18² + alpha² -36alpha) = -3

pour me débarrasser du facteur a, je vais diviser les deux termes des deux égalités, donc a(18² + alpha² -36alpha) / a(alpha)² = -3 / (-0,75)

donc -0,75(18² + alpha² -36alpha) = -3alpha², donc -243 -0,75alpha² +27alpha = -3alpha², et finalement on arrive à 2,25alpha² +27alpha -243 = 0.

donc à partir de f(x) = a(x - alpha)² + 3, on peut trouver f(0) = 2,25 et f(18) = 0 si alpha respecte l'équation 2,25alpha² +27alpha -243 = 0.

2) pour identifier alpha, je calcule le discriminant du polynôme en alpha².
discriminant = 27² + 4*243*2,25 = 2916 = 54².

le discriminant étant positif, l'équation admet 2 racines:
alpha1 = (-27 -54) / 4,5 = -18
alpha2 = (-27 +54) / 4,5 = 6.

comme alpha correspond à l'abscisse du sommet de parabole, alpha est positif, donc alpha = 6.

3) avec la valeur de alpha connue, on peut écrire f(x) = a(x - 6)² + 3.
or f(0) = 2,25 et f(18) = 0, donc on peut calculer a = -3/144 (ou -0,75/36).
donc a est proche de -0,021.

par conséquent, f(x) = -0,021*(x - 6)² + 3.

4) f(x) semble donner la hauteur du ballon après une distance de parcours de x mètres. on remarque que f(0) est la hauteur du ballon à l'engagement de service, donc que le ballon se trouve à 2,25 m du sol à ce moment-là, ce qui respecte bien la contrainte de ne pas dépasser 3 m au service.

par ailleurs, f(18) = 0 nous indique que le ballon touche le sol lorsque les 18 m de terrain sont parcourus par le ballon.

il serait donc intéressant de calculer f(9) pour identifier où se trouvera le ballon à mi-terrain, donc au-dessus du filet.

dans ce cas, f(9) = -0,021*(9-6)² + 3 = -0,021*9 + 3 = 3 - 0,189 = 2,811 m.

donc en regardant par rapport au filet et en notant M la marge au-dessus de ce filet, on a M = 2,811 - 2,430 = 0,381 m.

donc l'entraîneur à tort, puisque dans les conditions ci-dessus, le ballon passera à 38 cm au-dessus du filet.


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