Bonjour,
1)
a) Facile.
b)AMNP est un rectangle car il a ses côtés opposés // et un angle droit en A.
Donc PN=AM=x
Thalès dans les 2 triangles BMN et BAC :
BM/BA=MN/AC
(4-x)/4=MN/6
MN=1.5(4-x)
c)
Aire AMNP=f(x)=x*1.5*(4-x)=1.5x(4-x)
d) Tu développes :f(x)= 6-1.5(x-2)² et aussi f(x)=1.5x(4-x) et tu trouves dans les 2 cas :
f(x)=-1.5x²+6x.
e)
Donc f(x)=6-1.5(x-2)² qui donne :
f(x)-6=-1.5(x-2)²
(x-2)² est toujours > 0 ou nul si x=2 donc :
-1.5(x-2)² est toujours < 0 ou nul si x=2 donc :
f(x)- 6 ≤ 0 qui donne :
f(x) ≤ 6
qui prouve que f(x) passe par un maximum qui vaut 6 obtenu pour x=2.
2)
a)
f est croissante sur [0;2] puis décroissante sur [2;4] avec pour maximum la valeur 6 atteinte pour x=2.
f(0)=0 et f(4)=0
Tu fais donc un beau tableau de variation avec une flèche qui monte et une qui descend avec f(0) , f(2) et f(4) indiqués.
b)
Aire du triangle ABC=6*4/2=12
On veut que f(x)=12/4=3
Comme la valeur 3 ∈ [0;6] , il existe une valeur α telle que f(α)=3.
Et comme 3 ∈ [6;0] , il existe une valeur β telle que f(β)=3.
c)
La calculatrice donne : α ≈ 0.6 et β≈3.4
3)
On doit donc résoudre :
6-1.5(x-2)²=3
1.5(x-2)²=6-3
(x-2)²=3/1.5
(x-2)²=2
b)
(x-2)²-2=0
(x-2)²-(√2)²=0
[(x-2)-√2][(x-2)+√2]=0
qui donne :
x-2-√2=0 OU x-2+√2=0
x=............OU x=..........
