Bonsoir,
x : entier
x + 1 : consécutif de x
x + 2 : consécutif suivant
x + 3 : consécutif encore après
x * (x + 1) * (x + 2) * (x + 3) + 1 =
x * (x + 1) * (x^2 + 3x + 2x + 6) + 1 =
x * (x + 1) * (x^2 + 5x + 6) + 1 =
x * (x^3 + 5x^2 + 6x + x^2 + 5x + 6) + 1 =
x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 =
Il faut calculer ce carré pour prouver qu'il est parfait pour tout x :
[x * (x + 3) + 1]^2 = (x^2 + 3x + 1)^2 =
(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 1) = x^4 + 3x^3 + x^2 + 3x^3 + 9x^2 + 3x + x^2 + 3x + 1 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1
Les deux expressions sont égales donc c'est un carré parfait
On prend par exemple x = 1 :
1^4 + 6 * 1^3 + 11 *1^2 + 6*1 + 1 =
1 + 6 + 11 + 6 + 1 = 25 = 5^2
Donc carré parfait
