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1°) Développons f(x)
f(x) = (x-2)(3x-1)-(x-2)² = 3x²-x-6x+2-(x²-4x+4)
f(x) = 3x²-x-6x+2-x²+4x-4
f(x)= 2x² - 3x - 2
Factorisons f(x) : on peut mettre (x-2) en facteur.
f(x) =(x-2)(3x-1) - (x-2)(x-2)
f(x) =(x-2) [(3x-1) - (x-2)]
f(x) = (x-2) (3x-1-x+2)
f(x) = (x-2) (2x+1)
Développons g(x)
g(x) = (x-4)² - 9 = (x² - 8x + 16) - 9 = x² -8x + 7
Factorisons g(x)
On remarque que g(x) est une différence de carré (comme a² - b² ).
On peut donc utiliser l'identité remarquable a² - b² = (a-b) (a+b)
Donc
g(x) =(x-4)² - 9 = (x-4)² - 3²
Le "a" de l'identité remarquable correspond à (x-4)
et le "b" correspond à 3.
Donc g(x) = [(x-4)-3] [(x-4)+3]
g(x) = (x-4-3) (x-4+3)
g(x) = (x-7) (x-1)
2°)
a) Pour calculer f(0), la forme développée 2x² - 3x - 2 est la plus adaptée, car en remplaçant x par zéro, les produits sont nuls et il ne reste que (-2).
f(0) = 2×0² - 3×0 - 2 = -2
Pour calculer f(√2), la forme développée est la plus adaptée car (√2)² = 2
f(√2) = [tex]f( \sqrt{2} ) = 2 \sqrt{2}^{2} -3 \sqrt{2} -2 = 4-3 \sqrt{2} -2=2-3 \sqrt{2} [/tex]
b(1er b)) Pour calculer g(7), la forme factorisée de g(x) est la plus adaptée car l'un des facteurs est (x-7) qui devient donc nul lorsque x =7. Donc le produit sera nul.
g(7) = (7-7) (7-1) = 0 × 6 = 0
Pour calculer g(√3 + 4), la forme donnée dans l'énoncée de g(x) est la plus adaptée car nous avons vu qu'il s'agit d'une différence de carrés. Or le premier carré est lui-même une soustraction où on soustrait 4 à x. Donc, lorsque x = (√3 + 4), il ne restera plus que √3 qui sera élevé au carré.
[tex]g( \sqrt{3} +4)=[( \sqrt{3} +4)-4]^{2} -9]=( \sqrt{3} +4-4)^{2} -9 = \sqrt{3}^{2} -9[/tex]
[tex]g(x) = 3-9 = -6[/tex]
b (2eme b))
Nous cherchons les nombres x tels que f(x)=0.
Pour cela,la forme factorisée de f(x) est la plus adaptée car elle se présente sous la forme d'un produit et il suffit que l'un des facteurs de ce produit soit nul pour que f(x) = 0.
[tex]f(x) = 0 [/tex] ⇔ [tex](x-2)(2x + 1)=0[/tex]
Donc [tex](x-2) = 0[/tex] ou [tex](2x+1)=0[/tex]
Et donc [tex]x = 2[/tex] ou [tex]x = \frac{-1}{2} [/tex]
Les antécédents de 0 par f sont donc 2 et [tex](- \frac{1}{2} )[/tex]
c) Pour résoudre l'équation f(x) = 2g(x), les formes développées sont plus adaptées car nous aurons le terme 2x² de chaque côté du signe égal et nous pourrons donc supprimer tous les x².
[tex]f(x) = 2g(x)[/tex]
Donc [tex]2 x^{2} -3x-2=2( x^{2} -8x+7)[/tex]
[tex]2 x^{2} -3x-2=2x^{2} -16x+14[/tex]
[tex]-3x-2 = -16x + 14[/tex]
[tex]13x=16[/tex]
[tex]x= \frac{16}{13}[/tex]
Pour résoudre f(x)-g(x) = 5, les formes développées de f(x) et de g(x) sont les plus adaptées puisque nous pourrons ainsi utiliser les propriétés des polynômes du second degrés, en calculant un discriminant Δ.
f(x) - g(x) =5 ⇔ (2x² -3x-2) - (x² -8x + 7) = 5
⇔ 2x² - 3x -2 - x² +8x -7 = 5
⇔ x² + 5x - 9 = 5
⇔ x² + 5x - 14 = 0
Pour résoudre cette équation du second degré, nous calculons le discriminant Δ (formule Δ=b² - 4ac)
Ici Δ = 25 - 4 × (-14) = 25 + 56 = 81. Donc √Δ = 9
Les solutions sont donc données par les formules :
[tex] x_{1} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta} }{2a} [/tex]
et [tex]x_{2} = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta} }{2a} [/tex]
Donc[tex]x_{1} = \frac{-5- 9 }{2} =-7[/tex]
et [tex]x_{2} = \frac{-5+9 }{2}=2[/tex]
d) Pour résoudre l'inéquation f(x) ≤ 0, nous allons utiliser les résultats de la question b) où nous avons trouvé les antécédents de zéro par f. Ces antécédents de zéro par f correspondent aux racines de la courbe représentant f.
Or, pour un polynôme f(x) = ax² + bx + c, f(x) est toujours du signe de a, sauf entre ses racines.
Ici f(x) = 2x² - 3x -2 donc f(x) est toujours positif sauf entre ses racines qui sont 2 et [tex]- \frac{1}{2} [/tex]
[tex]f(x) \leq 0[/tex] ⇔ [tex]x[/tex]∈[tex][- \frac{1}{2} ;2][/tex]
(Les racines[tex]- \frac{1}{2} [/tex] et 2 sont incluses car f(x) peut être nul. )
Pour résoudre l'inéquation g(x)>0, nous allons commencer par résoudre l'équation g(x) = 0 (comme nous l'avons fait pour f(x))
Pour résoudre g(x) = 0, la forme factorielle de g(x) est la plus adaptée :
g(x) =0 ⇔ (x-7) (x-1) = 0 donc x=7 ou x = 1.
La forme développée de g(x) est x² - 8x +7.
Donc (en suivant la même méthode que ce que nous avons fait pour résoudre f(x)≤0 ) g(x) est toujours positifs sauf entre ses racines.
Donc g(x) > 0 ⇔ (x < 1) ou (x > 7) que nous pouvons aussi écrire :
g(x) > 0 ⇔ x ∈ ]-∞ ; 1[ ∪ ]7 ; +∞[.
(Cette fois, 1 et 7 sont exclues car c'est une inégalité stricte : g(x) doit être différent de zéro.)
Pour résoudre [tex] \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0[/tex]
nous allons utiliser les résultats précédents.
Pour qu'un quotient soit positif, il faut que le numérateur et le dénominateur soient de même signe.
L'idéal est de représenter donc ici un tableau de signes.
Bien sûr, comme g(x) est au dénominateur, il ne peut pas être nul.
x | -∞ -1/2 1 2 7 +∞
f(x) | + 0 - | - 0 + | + |
g(x) | + | + 0 - | - 0 + |
f(x) / g(x) | + 0 - | | + 0 - | | + |
(La double barre || signifie que le rapport f(x) / g(x) ne prend pas de valeur : 1 et 7 ne font pas partis de son ensemble de définition.)
Donc [tex] \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0[/tex]
⇔ x ∈ ]-∞ ; [tex]- \frac{1}{2} [/tex] ] ∪ ]1 ; 2] ∪ ]7 ; +∞[
f(x) = (x-2)(3x-1)-(x-2)² = 3x²-x-6x+2-(x²-4x+4)
f(x) = 3x²-x-6x+2-x²+4x-4
f(x)= 2x² - 3x - 2
Factorisons f(x) : on peut mettre (x-2) en facteur.
f(x) =(x-2)(3x-1) - (x-2)(x-2)
f(x) =(x-2) [(3x-1) - (x-2)]
f(x) = (x-2) (3x-1-x+2)
f(x) = (x-2) (2x+1)
Développons g(x)
g(x) = (x-4)² - 9 = (x² - 8x + 16) - 9 = x² -8x + 7
Factorisons g(x)
On remarque que g(x) est une différence de carré (comme a² - b² ).
On peut donc utiliser l'identité remarquable a² - b² = (a-b) (a+b)
Donc
g(x) =(x-4)² - 9 = (x-4)² - 3²
Le "a" de l'identité remarquable correspond à (x-4)
et le "b" correspond à 3.
Donc g(x) = [(x-4)-3] [(x-4)+3]
g(x) = (x-4-3) (x-4+3)
g(x) = (x-7) (x-1)
2°)
a) Pour calculer f(0), la forme développée 2x² - 3x - 2 est la plus adaptée, car en remplaçant x par zéro, les produits sont nuls et il ne reste que (-2).
f(0) = 2×0² - 3×0 - 2 = -2
Pour calculer f(√2), la forme développée est la plus adaptée car (√2)² = 2
f(√2) = [tex]f( \sqrt{2} ) = 2 \sqrt{2}^{2} -3 \sqrt{2} -2 = 4-3 \sqrt{2} -2=2-3 \sqrt{2} [/tex]
b(1er b)) Pour calculer g(7), la forme factorisée de g(x) est la plus adaptée car l'un des facteurs est (x-7) qui devient donc nul lorsque x =7. Donc le produit sera nul.
g(7) = (7-7) (7-1) = 0 × 6 = 0
Pour calculer g(√3 + 4), la forme donnée dans l'énoncée de g(x) est la plus adaptée car nous avons vu qu'il s'agit d'une différence de carrés. Or le premier carré est lui-même une soustraction où on soustrait 4 à x. Donc, lorsque x = (√3 + 4), il ne restera plus que √3 qui sera élevé au carré.
[tex]g( \sqrt{3} +4)=[( \sqrt{3} +4)-4]^{2} -9]=( \sqrt{3} +4-4)^{2} -9 = \sqrt{3}^{2} -9[/tex]
[tex]g(x) = 3-9 = -6[/tex]
b (2eme b))
Nous cherchons les nombres x tels que f(x)=0.
Pour cela,la forme factorisée de f(x) est la plus adaptée car elle se présente sous la forme d'un produit et il suffit que l'un des facteurs de ce produit soit nul pour que f(x) = 0.
[tex]f(x) = 0 [/tex] ⇔ [tex](x-2)(2x + 1)=0[/tex]
Donc [tex](x-2) = 0[/tex] ou [tex](2x+1)=0[/tex]
Et donc [tex]x = 2[/tex] ou [tex]x = \frac{-1}{2} [/tex]
Les antécédents de 0 par f sont donc 2 et [tex](- \frac{1}{2} )[/tex]
c) Pour résoudre l'équation f(x) = 2g(x), les formes développées sont plus adaptées car nous aurons le terme 2x² de chaque côté du signe égal et nous pourrons donc supprimer tous les x².
[tex]f(x) = 2g(x)[/tex]
Donc [tex]2 x^{2} -3x-2=2( x^{2} -8x+7)[/tex]
[tex]2 x^{2} -3x-2=2x^{2} -16x+14[/tex]
[tex]-3x-2 = -16x + 14[/tex]
[tex]13x=16[/tex]
[tex]x= \frac{16}{13}[/tex]
Pour résoudre f(x)-g(x) = 5, les formes développées de f(x) et de g(x) sont les plus adaptées puisque nous pourrons ainsi utiliser les propriétés des polynômes du second degrés, en calculant un discriminant Δ.
f(x) - g(x) =5 ⇔ (2x² -3x-2) - (x² -8x + 7) = 5
⇔ 2x² - 3x -2 - x² +8x -7 = 5
⇔ x² + 5x - 9 = 5
⇔ x² + 5x - 14 = 0
Pour résoudre cette équation du second degré, nous calculons le discriminant Δ (formule Δ=b² - 4ac)
Ici Δ = 25 - 4 × (-14) = 25 + 56 = 81. Donc √Δ = 9
Les solutions sont donc données par les formules :
[tex] x_{1} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta} }{2a} [/tex]
et [tex]x_{2} = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta} }{2a} [/tex]
Donc[tex]x_{1} = \frac{-5- 9 }{2} =-7[/tex]
et [tex]x_{2} = \frac{-5+9 }{2}=2[/tex]
d) Pour résoudre l'inéquation f(x) ≤ 0, nous allons utiliser les résultats de la question b) où nous avons trouvé les antécédents de zéro par f. Ces antécédents de zéro par f correspondent aux racines de la courbe représentant f.
Or, pour un polynôme f(x) = ax² + bx + c, f(x) est toujours du signe de a, sauf entre ses racines.
Ici f(x) = 2x² - 3x -2 donc f(x) est toujours positif sauf entre ses racines qui sont 2 et [tex]- \frac{1}{2} [/tex]
[tex]f(x) \leq 0[/tex] ⇔ [tex]x[/tex]∈[tex][- \frac{1}{2} ;2][/tex]
(Les racines[tex]- \frac{1}{2} [/tex] et 2 sont incluses car f(x) peut être nul. )
Pour résoudre l'inéquation g(x)>0, nous allons commencer par résoudre l'équation g(x) = 0 (comme nous l'avons fait pour f(x))
Pour résoudre g(x) = 0, la forme factorielle de g(x) est la plus adaptée :
g(x) =0 ⇔ (x-7) (x-1) = 0 donc x=7 ou x = 1.
La forme développée de g(x) est x² - 8x +7.
Donc (en suivant la même méthode que ce que nous avons fait pour résoudre f(x)≤0 ) g(x) est toujours positifs sauf entre ses racines.
Donc g(x) > 0 ⇔ (x < 1) ou (x > 7) que nous pouvons aussi écrire :
g(x) > 0 ⇔ x ∈ ]-∞ ; 1[ ∪ ]7 ; +∞[.
(Cette fois, 1 et 7 sont exclues car c'est une inégalité stricte : g(x) doit être différent de zéro.)
Pour résoudre [tex] \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0[/tex]
nous allons utiliser les résultats précédents.
Pour qu'un quotient soit positif, il faut que le numérateur et le dénominateur soient de même signe.
L'idéal est de représenter donc ici un tableau de signes.
Bien sûr, comme g(x) est au dénominateur, il ne peut pas être nul.
x | -∞ -1/2 1 2 7 +∞
f(x) | + 0 - | - 0 + | + |
g(x) | + | + 0 - | - 0 + |
f(x) / g(x) | + 0 - | | + 0 - | | + |
(La double barre || signifie que le rapport f(x) / g(x) ne prend pas de valeur : 1 et 7 ne font pas partis de son ensemble de définition.)
Donc [tex] \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0[/tex]
⇔ x ∈ ]-∞ ; [tex]- \frac{1}{2} [/tex] ] ∪ ]1 ; 2] ∪ ]7 ; +∞[
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