Bonjour,
2)a)
On vérifie N⁰ = I (par convention)
et a₀A + b₀B = 1/8 x A - 1/8 x B = I
donc vrai au rang n=0
On suppose vrai au rang n
Au rang n+1 :
Nⁿ⁺¹ = N x Nⁿ = N(anA + bnB) = anNA + bnNB = an x 12A + bn x 4B
= 12anA + 4bnB
= an+1xA + bn+1xB
donc propriété héréditaire
b) (an) (bn) suites géométriques
on en déduit : an = 1/8 x 12ⁿ et bn = -1/8 x 4ⁿ
c) M = 1/20 x N
⇒ Mⁿ = (1/20)ⁿ x Nⁿ
⇔ Mⁿ = (1/20)ⁿ[1/8 x 12ⁿA - 1/8 x 4ⁿB]
⇔ Mⁿ = 1/8 x (12/20)ⁿA - 1/8 x (4/20)ⁿB
⇔ Mⁿ = 1/8 x (3/5)ⁿA - 1/8 x (1/5)ⁿB
3) a)
Xn+1 [tex] \left[\begin{array}{ccc}un+1\\dn+1\\tn+1\end{array}\right] [/tex]
Donc Xn+1 = MXn
b) Xn = MXn-1 = M x MXn-2 = .... = Mⁿ⁻¹X₁
c)
X₁ [tex] \left[\begin{array}{ccc}7/20\\3/20\\9/20\end{array}\right] [/tex]
Mⁿ⁻¹ = 1/8 x (3/5)ⁿ⁻¹A - 1/8 x (1/5)ⁿ⁻¹B
A [tex] \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\3&2&1\\9&6&3\end{array}\right] [/tex]
B [tex] \left[\begin{array}{ccc}-5&2&1\\3&-6&1\\9&6&-5\end{array}\right] [/tex]
⇒ un = 1/8 x (3/5)ⁿ⁻¹x3 - 1/8 x (1/5)ⁿ⁻¹x(-5) = 3/8 x (3/5)ⁿ⁻¹ + 5/8 x (1/5)ⁿ⁻¹
idem pour dn et tn
