Bonsoir,
1°)
a) 1³ = 1
[tex]j^3=(e^{2i \frac{\pi}{3}})^3 = e^{2i \frac{\pi}{3}*3}=e^{2i\pi} =1[/tex]
[tex](j^2)^3=j^6=(e^{2i \frac{\pi}{3}})^6 = e^{2i \frac{\pi}{3}*6}=e^{4i\pi} =1[/tex]
(Bonus de culture générale : on en déduit que 1, j et j² sont les racines cubiques de l'unité)
b) [tex](1-j)(1+j+j^2)=(1-j)(\sum \limits_{\underset{}{k=0}}^2 j^k)=(1-j)( \frac{1-j^{2+1}}{1-j} )=1-j^3[/tex]
Or j³ = 1 d'après la question précédente.
Donc (1-j)(1+j+j²)=1-1=0
Or (1-j) ≠ 0, donc (1-j)(1+j+j²) = 0 ⇔ 1+j+j² = 0
(Bonus de culture générale : pour tout entier n supérieur ou égal à 2, la somme des racines n-ièmes de l'unité est toujours nulle)
c) On sait que [tex]e^{i \frac{\pi}{3}} = -j^2[/tex] (Tu peux le vérifier par le calcul si tu le souhaites)
Donc [tex]e^{i \frac{\pi}{3}}+j^2=-j^2+j^2=0 [/tex]
Je te laisse faire le reste.
