Répondre :
Exercice 1 :
1) Le trinôme se simplifie très facilement par 3 :
[tex]3x^2-6x+3=0[/tex]
[tex]x^2-2x+1=0[/tex]
[tex](x-1)^2=0[/tex]
Donc l'équation admet une unique solution qui vaut x = 1.
2) Factorisation :
[tex]10x^2+10x -60=10(x^2+x-6)=10(x-2)(x+3)[/tex]
3) Afin de connaître le signe de ce trinôme, nous déterminons son discriminant.
[tex]\Delta=9-4\times (-1)\times 40=169 \geq 0[/tex]
Nous savons d'ores et déjà que le signe n'est pas uniforme sur l'ensemble des réels. Il n'y a donc même pas à effectuer les calculs : seule la solution c peut être valide.
Exercice 2 :
1) Résolution d'équation par calcul de discriminant :
[tex]\Delta = 64 - 4(-3)35=484 \geq 0[/tex]
Il existe donc deux solutions réelles qui s'écrivent de la forme ci-dessous :
[tex]x_1= \frac{-8+ \sqrt{484}}{2\times (-3)} = \frac{-8+22}{-6} = -\frac{7}{3} [/tex]
[tex]x_2= \frac{-8- \sqrt{484}}{2\times (-3)} = \frac{-8-22}{-6} = 5 [/tex]
(5 était racine évidente, je n'avais pas eu l'envie de rechercher)
Donc l'ensemble des solutions est : [tex]\mathcal{S}=\{-\frac{7}{3};5\}[/tex]
2) Comme le discriminant est positif, le signe est celui du coefficient dominant "en dehors" des racines et l'opposé de celui du coefficient dominant dans l'intervalle "entre" les racines. Donc le trinôme donne un résultat strictement négatif sur [tex]]-\infty;-\frac{7}{3}[\cup]5;+\infty[[/tex] et positif ou nul sur [tex][-\frac{7}{3};5][/tex].
3) Par l'emploi de la question précédente, l'inéquation est résolue sur l'ensemble [tex]]-\infty;-\frac{7}{3}[\cup]5;+\infty[[/tex].
Exercice 3 :
1) a. Nous remarquons d'emblée que 1 est racine évidente du trinôme associé à la fonction f. Donc la traduction pour x réel est :
[tex]f(x)=(x-1)(x+3)[/tex]
Et de fait, les racines de f sont donc 1 et -3.
b. Je ne me suis pas rendu compte que j'allais un peu vite puisque j'ai résolu les sous-questions a. et b. en même temps ! Donc, je reprends. Puisque 1 est une racine évidente du trinôme x² + 2x - 3, cela veut dire nécessairement qu'il ne reste plus qu'une racine à trouver à ce trinôme. On l'obtient en regardant le terme de degré nul. Ici, c'est -3. Donc on cherche quel nombre multiplié par 1 donne -3... C'est bien sûr -3 lui-même. Donc 1 et -3 sont racines du trinôme et celui-ci peut s'écrire x² + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3).
2) Je vous laisse le faire vous-même.
3) a. Il s'agit d'un simple calcul algébrique pour x réel :
[tex]f(x)-g(x)=(x-1)(x+3)- \frac{3}{2}(x+3)=(x+3)[(x-1)- \frac{3}{2}][/tex]
[tex]f(x)-g(x)=(x+3)(x-1- \frac{3}{2})=(x+3)(x- \frac{5}{2} )[/tex]
Nous avons bien évidemment employé l'expression factorisée obtenue en question précédente (typique d'un sujet de mathématiques de réemployer le résultat de la tâche que l'on vient d'accomplir).
b. Pour résoudre l'équation égale à 0, nous savons qu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Donc, les solutions de f(x) - g(x) = 0 sont soit [tex]x=-3[/tex], soit [tex]x= \frac{5}{2}[/tex].
c. À vous de voir selon vos résultat numériques.
(Ouf ! Je suis usé, je vais me servir un jus d'orange !)
1) Le trinôme se simplifie très facilement par 3 :
[tex]3x^2-6x+3=0[/tex]
[tex]x^2-2x+1=0[/tex]
[tex](x-1)^2=0[/tex]
Donc l'équation admet une unique solution qui vaut x = 1.
2) Factorisation :
[tex]10x^2+10x -60=10(x^2+x-6)=10(x-2)(x+3)[/tex]
3) Afin de connaître le signe de ce trinôme, nous déterminons son discriminant.
[tex]\Delta=9-4\times (-1)\times 40=169 \geq 0[/tex]
Nous savons d'ores et déjà que le signe n'est pas uniforme sur l'ensemble des réels. Il n'y a donc même pas à effectuer les calculs : seule la solution c peut être valide.
Exercice 2 :
1) Résolution d'équation par calcul de discriminant :
[tex]\Delta = 64 - 4(-3)35=484 \geq 0[/tex]
Il existe donc deux solutions réelles qui s'écrivent de la forme ci-dessous :
[tex]x_1= \frac{-8+ \sqrt{484}}{2\times (-3)} = \frac{-8+22}{-6} = -\frac{7}{3} [/tex]
[tex]x_2= \frac{-8- \sqrt{484}}{2\times (-3)} = \frac{-8-22}{-6} = 5 [/tex]
(5 était racine évidente, je n'avais pas eu l'envie de rechercher)
Donc l'ensemble des solutions est : [tex]\mathcal{S}=\{-\frac{7}{3};5\}[/tex]
2) Comme le discriminant est positif, le signe est celui du coefficient dominant "en dehors" des racines et l'opposé de celui du coefficient dominant dans l'intervalle "entre" les racines. Donc le trinôme donne un résultat strictement négatif sur [tex]]-\infty;-\frac{7}{3}[\cup]5;+\infty[[/tex] et positif ou nul sur [tex][-\frac{7}{3};5][/tex].
3) Par l'emploi de la question précédente, l'inéquation est résolue sur l'ensemble [tex]]-\infty;-\frac{7}{3}[\cup]5;+\infty[[/tex].
Exercice 3 :
1) a. Nous remarquons d'emblée que 1 est racine évidente du trinôme associé à la fonction f. Donc la traduction pour x réel est :
[tex]f(x)=(x-1)(x+3)[/tex]
Et de fait, les racines de f sont donc 1 et -3.
b. Je ne me suis pas rendu compte que j'allais un peu vite puisque j'ai résolu les sous-questions a. et b. en même temps ! Donc, je reprends. Puisque 1 est une racine évidente du trinôme x² + 2x - 3, cela veut dire nécessairement qu'il ne reste plus qu'une racine à trouver à ce trinôme. On l'obtient en regardant le terme de degré nul. Ici, c'est -3. Donc on cherche quel nombre multiplié par 1 donne -3... C'est bien sûr -3 lui-même. Donc 1 et -3 sont racines du trinôme et celui-ci peut s'écrire x² + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3).
2) Je vous laisse le faire vous-même.
3) a. Il s'agit d'un simple calcul algébrique pour x réel :
[tex]f(x)-g(x)=(x-1)(x+3)- \frac{3}{2}(x+3)=(x+3)[(x-1)- \frac{3}{2}][/tex]
[tex]f(x)-g(x)=(x+3)(x-1- \frac{3}{2})=(x+3)(x- \frac{5}{2} )[/tex]
Nous avons bien évidemment employé l'expression factorisée obtenue en question précédente (typique d'un sujet de mathématiques de réemployer le résultat de la tâche que l'on vient d'accomplir).
b. Pour résoudre l'équation égale à 0, nous savons qu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Donc, les solutions de f(x) - g(x) = 0 sont soit [tex]x=-3[/tex], soit [tex]x= \frac{5}{2}[/tex].
c. À vous de voir selon vos résultat numériques.
(Ouf ! Je suis usé, je vais me servir un jus d'orange !)
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