1/ [tex](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz[/tex]
2/ Par la question précédente, si x + y + z = 0, alors le carré de cette somme sera nul également donc on aura :
[tex]0=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2=-2(xy+xz+yz)[/tex]
3/ Soient x, y, z tous non nuls.
La condition [tex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} =0[/tex] équivaut en réduisant tout au même dénominateur à [tex] \frac{xy+xz+yz}{xyz}=0 [/tex], soit en multipliant de part et d'autre de l'équation par xyz non nul :
[tex]xy+xz+yz =0[/tex]
Cette condition appliquée au résultat de la question 1 donne l'équation annoncée.
4/ Prenons l'hypothèse de la question précédente.
[tex]\mathcal{S}= \frac{y+z}{x} + \frac{x+z}{y} + \frac{x+y}{z}[/tex][tex]\mathcal{S}=\frac{y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+x^2y+xy^2}{xyz}[/tex]
[tex]\mathcal{S}=\frac{(y+z)x^2+(x+z)y^2+(x+y)z^2}{xyz}[/tex]
[tex]\mathcal{S}=\frac{(xy+xz)x+(xy+yz)y+(xz+yz)z}{xyz}[/tex]
[tex]\mathcal{S}=\frac{-yzx-zxy-yxz}{xyz}[/tex]
[tex]\mathcal{S}=\frac{-3xyz}{xyz}[/tex]
[tex]\mathcal{S}=-3[/tex]
5/ Le principe est le même. Il faut tout mettre au même dénominateur en xyz, simplifier les numérateurs qui apparaîtront avec la formule xy + xz + yz = 0 puis enfin développer et faire les calculs.
