Bonjour,
1) Par récurrence
U₁ = 7/3 donc U₁ ≥ 1
Supposons qu'au rang n, Un ≥ 1
Au rang (n + 1) :
Un+1 = (7Un + 3)/(3Un + 7)
7Un + 3 = (3Un + 7) + (4Un - 4) = (3Un + 7) + 4(Un - 1)
⇒ Un+1 = 1 + 4(Un - 1)/(3Un + 7)
D'après l'hypothèse de récurrence, Un ≥ 1
⇒ (Un - 1) ≥ 0 et (3Un + 7) ≥ 0
⇒ 4(Un - 1)/(3Un + 7) ≥ 0
⇒ Un+1 ≥ 1
Donc propriété héréditaire
⇒ ∀ n ∈ N*, Un ≥ 1
2) Un+1 - Un
= (7Un + 3)/(3Un + 7) - Un(3Un + 7)/(3Un + 7)
= (7Un + 3 - 3Un² - 7Un)/(3Un + 7)
= 3(1 - Un)(1 + Un)/(3Un + 7)
D'après la question précédente : Un ≥ 1
⇒ 1 - Un ≤ 0
⇒ Un+1 - Un ≤ 0
⇒ (Un) est décroissante
3) a)
Un+1 - 1
= (7Un + 3 - 3Un - 7)/(3Un + 7)
= 4(Un - 1)/(3Un + 7)
Un ≥ 1
⇒ 0 < 4/(3Un + 7) ≤ 4/10 = 2/5
⇒ 0 < Un+1 - 1 ≤ 2/5 x (Un - 1)
b)
Donc, d'après la question précédente :
0 < Un - 1 ≤ 2/5 x (Un-1 - 1)
0 < Un-1 - 1 ≤ 2/5 x (Un-2 - 1)
etc...jusqu'à :
0 < U₂ - 1 ≤ 2/5 x (U₁ - 1) avec U₁ - 1 = 4/3
On en déduit que :
∀ n ∈ N*, 0 < Un - 1 ≤ (2/5)ⁿ⁻¹ x 4/3
