Bonsoir,
Soit x∈ℝ⁺
1. x-2 ≥ 0 ⇔ x > 2
x-2 ≤ 0 ⇔ x < 2
x-2 = 0 ⇔ x = 2
Donc :
x-2 est positif sur [2;+∞[
x-2 est négatif sur [0;2]
x-2 s'annule en 2
2. a. On sait que la fonction racine carrée est positive sur ℝ⁺
On sait également que [2;+∞[⊂ℝ⁺
Donc il existe un intervalle I inclus dans ℝ⁺ tel que √x et x-2 sont de même signe, et I = [2;+∞[
b. Lorsqu'un nombre positif est élevé au carré, son signe ne change pas.
Donc comparer √x et x-2 sur I revient à comparer leurs carrés respectifs.
c. Comparer √x et x-2 sur I, revient à poser l'inéquation suivante :
√x ≤ x-2
(√x)² ≤ (x-2)²
x ≤ x²-4x+4
x²-5x+4 ≥ 0
Donc l'intervalle (dans I) solution de cette inéquation est également l'intervalle où √x est inférieur à x-2
De plus, l'intervalle (dans I) n'étant pas solution de cette inéquation est également l'intervalle où √x est strictement supérieur à x-2
Enfin, les valeurs de x solutions de l'équation x²-5x+4 = 0 sont également les valeurs où √x et x-2 sont égaux.
d. Par double distributivité, (x-1)(x-4) = x²-4x-x-(-4) = x²-5x-4
e. Donc :
x²-5x+4 ≥ 0
(x-1)(x-4) ≥ 0
[x-1 ≥ 0 et x-4 ≥ 0] ou [x-1 ≤ 0 et x-4 ≤ 0]
[x ≥ 1 et x ≥ 4] ou [x ≤ 1 et x ≤ 4]
Or [x ≥ 1 et x ≥ 4] ⇔ x ≥ 4
Et [x ≤ 1 et x ≤ 4] ⇔ x ≤ 1
Donc on obtient :
x ≥ 4 ou x ≤ 1
Or [0;1]∩I = ∅, donc l'intervalle [0;1] n'est pas solution de l'inéquation.
Donc x²-5x+4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4
De plus,
x²-5x+4 = 0
(x-1)(x-4) = 0
x = 1 ou x = 4
x = 4 car 1∉I
f. Donc :
√x est stritement supérieur, à x-2 dans l'intervalle [2;4[
√x est inférieur à x-2 dans l'intervalle [4;+∞[
√x est égal à x-2 en 4
3. ℝ⁺\I = [0;2[
Or dans ℝ⁺\I, d'après la question 1, √x est positif et x-2 est strictement négatif
Donc dans ℝ⁺\I, √x est strictement supérieur à x-2
4. Donc :
Dans [0;4[, la courbe d'équation y = √x est au-dessus de la courbe d'équation y = x-2
Dans [4;+∞[, la courbe d'équation y = √x est en dessous de la courbe d'équation y = x-2
En 2, les deux courbes se coupent.
