Exercice 1 :
2/ On peut calculer dans l'espace la distance de A à M pour en avoir le cœur net. Par la formule habituelle :
[tex]AM= \sqrt{(3-1)^2+(5-2)^2}= \sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{4+9} = \sqrt{13} [/tex]
Donc M est bien un point du cercle de centre A et de rayon [tex] \sqrt{13} [/tex].
3/ On peut, par exemple, déterminer un produit vectoriel. S'il est nul, on a géométrique un angle droit. Ainsi, en termes de coordonnées :
[tex]\displaystyle\vec{AM}(2,3)[/tex]
[tex]\vec{PM}(6,-4)[/tex]
Donc [tex]\vec{AM}\wedge\vec{PM}=2\times 6+3\times (-4)=0[/tex]
Ainsi les deux droites (AM) et (PM) sont perpendiculaires en M, ce qui montre que PM est tangente au cercle C.
Exercice 2 :
Toutes les équations à 0 reposent sur le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Par ailleurs :
[tex]A(x)=2x+x^2=x(2+x)[/tex]
[tex]A(x)=0[/tex] équivaut à x = 0 ou x = - 2
[tex]A(x)=(2x+3)(x-1)+(2-2x)(2x+3)=(2x+3)(x-1+2-2x)[/tex]
[tex]A(x)=-(2x+3)(x-1)[/tex]
[tex]A(x)=0[/tex] équivaut à x = 1 ou x = - 3 / 2
[tex]A(x)=4x^2-81^2=(2x-81)(2x+81)[/tex]
[tex]A(x)=0[/tex] équivaut à x = 81 / 2 ou x = - 81 / 2
Exercice 3 :
Il suffit d'égaliser à zéro pour en déduire les "points d'inflexion" de positivité.
Dans le premier cas, f(x) = 0 équivaut à 2x + 1 = 0 soit encore x = - 1 / 2.
Donc sur [tex]]-\infty,- \frac{1}{2}] [/tex], f est de valeurs négatives et sur [tex][- \frac{1}{2} , +\infty[[/tex], elle est de valeurs positives.
Sur le même principe, le point d'inflexion du deuxième est 3 / 5 et celui du dernier est 0.
Exercice 4 :
Il s'agit du même principe que l'exercice 2.
[tex]f(x)=(x+1)(5x-3-2x-2)=(x+1)(3x-5)[/tex]
[tex]f(x)=0[/tex] équivaut à x = - 1 ou x = 5 / 3
[tex]f(x)=2x^2+8x=2x(x+4)[/tex]
[tex]f(x)=0[/tex] équivaut à x = 0 ou x = - 4
Le dernier est identique au premier.
