Question 1
Pour déterminer f(1), il faut lire l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1.
Pour cela :
- tracer une verticale coupant l'axe horizontal du repère à l'abscisse 1,
- repérer le point d'intersection entre cette droite verticale et la courbe : il s'agit du point A sur le graphique,
- tracer une droite horizontale passant par ce point (donc parallèle à l'axe des abscisses et perpendiculaire à la droite verticale x=1),
- repérer où cette droite coupe l'axe vertical du repère et y lire la valeur de l'ordonnée.
Visiblement, sur le graphique f(1) = 1.
Le point A a donc pour coordonnées (1 ; 1)
Question 2
Je vais d'abord essayer d'expliquer le principe de la fonction dérivée. Tout cela est dans le cours mais je vais le dire autrement, en espérant que ça t'aide.
La fonction dérivée de f se note f '.
Cette fonction f ' donne pour chaque valeur de x, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la fonction f. En effet une tangente est une droite dont l'équation peut s'écrire y = m x + p. Le coefficient directeur de cette tangente correspond au coefficient m dans son équation. m est aussi appelé la pente.
Pour une fonction f, sa dérivée f ' donne donc le coefficient directeur de la tangente en chaque point d'abscisse x.
En effet, une courbe a une infinité de tangente : une pour chacun de ces points et chaque tangente a un coefficient directeur différent en fonction de l'inclinaison de la courbe.
Pour déterminer f '(0)
f '(0) correspond au coefficient directeur de la droite tangente Ă la courbe au point d'abscisse 0. Sur la courbe Cf, le point d'abscisse 0 est le point B.
Donc f '(0) est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe Cf au point B. Cette droite tangente est représentée sur le graphe.
Il s'agit de la droite (d'). On constate que (d') est une droite horizontale. Or le coefficient directeur d'une droite horizontale vaut zéro. (Son équation est :
y = 0x + p donc y = p, c'est-à -dire que quelque soit l'abscisse x de ses points, l'ordonnée sera toujours p. Dans l'exercice ici, l'équation de cette tangente horizontale est y = -1)
Donc nous voyons que f '(0) = 0 car (d') est horizontale.
Pour déterminer f '(1)
f '(1) est le coefficient directeur de la tangente Ă la courbe Cf au point A. Cette tangente sur le graphique, correspond Ă la droite (d).
Là , c'est plus compliqué car la droite n'est pas horizontale comme précédemment. Il va falloir déterminer son coefficient directeur sur le graphique. Pour cela, c'est exactement comme déterminer la pente d'une côte sur une route : de quelle distance montes-tu quand tu avances d'une unité. La "route" correspond à la droite (d).
On voit sur le graphique que lorsque la droite avance de 1 abscisse, elle monte de 2 ordonnées.
Cela se voit bien en partant du point B puisque (d) passe par B. Le point B a pour coordonnées (0 ; -1). La droite (d) passe ensuite par A, qui, comme nous l'avons vu à la question 1, a pour coordonnées (1 ; 1).
Donc la droite (d) est passée de l'abscisse de B, qui est 0, à l'abscisse de A qui est 1.
Elle a donc avancé de : 1-0 = 1 abscisse (on calcule la différence entre l'abscisse d'arrivée et l'abscisse de départ.)
Dans le même temps, elle est montée de l'ordonnée de B, qui est (-1) à l'ordonnée de A, qui est 1.
Elle est donc montée de 1-(-1) = 1+1 = 2 ordonnées (on calcule la différence entre l'ordonnée d'arrivée et l'ordonnée de départ.)
La pente (donc le coefficient directeur) correspond au rapport entre le nombre d'ordonnées "monté" par la droite et le nombre d'abscisses "parcouru".
Donc ici = [tex] \frac{2}{1} =2[/tex]
C'est une formule du cours : lorsque l'on a deux points A et B, le coefficient directeur de la droite (AB) est :
[tex]m = \frac{ y_{A}- y_{B} }{x_{A}- x_{B}} [/tex]
Donc ici = [tex]m = \frac{ y_{A}- y_{B} }{x_{A}- x_{B}} =\frac{ 1- (-1) }{1-0}} = \frac{2}{1} =2[/tex]
Donc f '(1) = 2
