1)
a) Périmètre de l'ARBEL:
[tex]P=\dfrac{1}{2}(\pi b)+\dfrac{1}{2}(\pi c)+\dfrac{1}{2}(\pi a)[/tex]
[tex]P=\dfrac{1}{2}(\pi b)+\dfrac{1}{2} \pi( c+ a)[/tex]
[tex]P=\dfrac{1}{2}(\pi b)+\dfrac{1}{2} \pi( b)[/tex]
[tex]P=\pi b[/tex]
b) Aire de l'ARBEL:
[tex]A=\dfrac{1}{2}\pi \left(\dfrac{b}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\pi \left(\dfrac{c}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^2[/tex]
[tex]A=\dfrac{\pi}{8}(b^2-a^2-c^2)[/tex]
Notons h= BD
Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle, alors il est rectangle.
Le triangle ACD est rectangle en D.
On applique le théorème de Pythagore dans les triangles ABD rect en B,DBC rect en B et ACD rect en D:
AD²=c²+h²
CD²=a²+h²
Ainsi:
AC²=AD²+CD²=c²+h²+a²+h²=c²+a²+2h²
Ac²=b²=c²+a²+2h²
soit h²=(b²-a²-c²)/2
Ainsi, l'aire du disque de diamètre [BD] est:
[tex]A=\dfrac{\pi}{4}\timesh^2=\dfrac{\pi}{8}(b^2-a^2-c^2)[/tex]
2) L'aire est maximale lorsque (question 1)b)) BD est maximale.
BD est maximale lorsque B est le centre du centre de diamètre [AC]
