Bonsoir ;
1)
a)
Le rayon du demi-cercle de diamètre [AB] est : AC/2 = c/2 .
Le rayon du demi-cercle de diamètre [BC] est : BC/2 = a/2 .
Le rayon du demi-cercle de diamètre [AC] est : AC/2 = b/2 .
Le périmètre de l'ARBEL est :
π/2 c + π/2 a + π/2 b = π/2 (a + b + c) = π/2 (b + b) = π b .
Le périmètre de l'ARBEL est indépendant de "a" et de "c" ,
donc indépendant de la position du point B sur [AC] .
Le triangle ADC est rectangle en D car son hypoténuse est le diamètre de son cercle
circonscrit, donc on a par le théorème de Pythagore , on a:
AC² = AD² + DC² ;
donc : b² = AD² + DC² .
Le triangle ABD est rectangle B , donc par le théorème de Pythagore , on a :
AD² = BA² + BD² ;
donc : AD² = BD² + c² .
Le triangle CBD est rectangle B , donc par le théorème de Pythagore , on a :
DC² = BD² + BC² ;
donc : DC² = BD² + a² .
En utilisant les résultats obtenus précédemment on a:
b² = AD² + DC² = BD² + c² + BD² + a² = 2 BD² + a² + c² ;
donc : b² - a² - c² = 2 BD² .
L'aire du demi-disque de diamètre "b" est : 1/2 x π x (b/2)² = π/8 x b² .
L'aire du demi-disque de diamètre "c" est : 1/2 x π x (c/2)² = π/8 x c² .
L'aire du demi-disque de diamètre "a" est : 1/2 x π x (a/2)² = π/8 x a² .
L'aire de l'ARBEL est : π/8 x b² - π/8 x a² - π/8 x c²
= π/8 x (b² - a² - c²) = π/8 x 2BD²
= π x (BD/2)² : qui est l'aire du disque de diamètre BD .
