Bonjour ;
Exercice n° 1 .
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = exp(2x) - 2x + k ,
avec k un nombre réel .
f ' (x) = 2 exp(2x) - 2 = 2(exp(2x) - 1) .
On a : f ' (x) = 0 pour exp(2x) - 1 = 0 c - à - d pour x = 0 .
Pour le tableau de variation , veuillez-voir le fichier ci-joint .
Pour k < 1 on a : 1 - k > 0 ; donc : f(x) ≥ 1 - k > 0 ;
donc la fonction f ne s'annule jamais ,
donc l'équation : exp(2x) - 2x + k = 0 n'a pas de solution .
Pour k = 1 on a : 1 - k = 0 ; donc : f(x) ≥ 0 ;
donc la fonction f s'annule pour x = 0 ;
donc l'équation : exp(2x) - 2x + k = 0 admet une seule solution qui est x = 0 .
Pour k > 1 on a : 1 - k < 0 ;
donc la fonction f s'annule deux fois ,
donc l'équation : exp(2x) - 2x + k = 0 admet deux solutions distinctes .
