Bonjour
Question 1
Une droite dont l'équation est ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur u de coordonnées (-b ; a).
Ici, le vecteur directeur a pour coordonnées (-2 ; 3). Donc b = 2 et a =3.
L'équation de la droite D est donc de la forme :
3x + 2y + c = 0
Pour déterminer la constante c dans cette équation, nous savons que la droite D passe par A (1 ; -4).
Donc puisque A ∈ D, ces coordonnées vérifient l'équation de D, c'est-à -dire que :[tex]3x_A+2y_A+c = 0[/tex]
Donc 3 × 1 + 2 × (-4) + c =0 ⇔ 3-8+c = 0 ⇔ c = 8-3 = 5
L'équation de la droite D est donc :
[tex]3x+ 2y +5 = 0[/tex]
Question 2 :
Pour démontrer que B ∈ D, il faut vérifier que ses coordonnées vérifient l'équation de D soit que [tex]3x_B+ 2y_B +5 = 0[/tex]
Calculons donc 3×(-3) + 2×2 + 5 = (-9) + 4 + 5 = (-9) + 9 = 0
Donc les coordonnées de B vérifient l'équation de D : B ∈ D
Question 3 :
Pour tracer la droite Δ, son équation est [tex]y=- \frac{3}{2}x+1 [/tex]
Donc:
- lorsque [tex]x=0[/tex], [tex]y = 1[/tex]
Δ passe par le point de coordonnées (0 ; 1) ;
- lorsque [tex]x=2[/tex], [tex]y=- \frac{3}{2}*2+1 =-3 + 1 = -2[/tex]
Δ passe par le point de coordonnées (2 ; -2).
Pour tracer Δ, il suffit donc de relier les points (0 ; 1) et (2 ; -2).
Après l'avoir tracée, nous observons que Δ // D. Nous conjecturons grâce au graphique, que Δ // D.
Démonstration : nous savons que deux droites sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur sont colinéaires.
Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x' ; y') sont colinéaires si
[tex]x y' -x'y = 0[/tex]
Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de Δ, à partir de son équation :
[tex]y=- \frac{3}{2}x+1[/tex] ⇔ [tex]- \frac{3}{2} x-y=0[/tex]
Donc, toujours en appliquant la propriété " une droite dont l'équation est ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur u de coordonnées (-b ; a) ",
ici [tex]b = (-1) [/tex] et [tex]a = - \frac{3}{2} [/tex]
Le vecteur directeur de Δ a donc pour coordonnées (1 ; [tex]- \frac{3}{2}[/tex])
Nous connaissons donc le vecteur directeur de D de coordonnées (-2 ; 3) (c'est le vecteur u) et le vecteur directeur de Δ, dont nous venons de déterminer les coordonnées : (1 ; [tex]- \frac{3}{2}[/tex]).
Pour vérifier s'ils sont colinéaires, nous devons donc calculer [tex](-2) * \frac{-3}{2} -3*1[/tex]
[tex](-2) * \frac{-3}{2} -3*1 = 3 -3 = 0[/tex]
Cette différence est nulle.
Donc, d'après la propriété énoncée au début de cette question ("Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x' ; y') sont colinéaires si
[tex]x y' -x'y = 0[/tex]"), les vecteurs directeurs de D et de Δ sont colinéaires.
Et donc, comme deux droites sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur sont colinéaires : D // Δ
