Bonjour,
1)a)
3/2AM + 5/2MB = AB
⇔ 3/2(AB + BM) + 5/2MB = AB
⇔ -5/2BM + 3/2BM = AB - 3/2AB
⇔ -BM = -1/2AB
⇔ BM = 1/2AB
b) voir figure
2)
A)
a) MN = MB + BN
= -1/2AB + BN
= -1/2AB + BA + AN
= -1/2AB - AB + 3/4(AB + AD)
= -3/2AB + 3/4AB + 3/4AD
= -3/4AB + 3/4AD
= 3/4(AD - AB)
= 3/4(AD + BA)
= 3/4BD
PM = PB + BM
= (PA + AB) + 1/2AB
= -AP + 3/2AB
= -3/2AD + 3/2AB
= 3/2(AB - AD)
= 3/2(AB + DA)
= 3/2BD
b) MN = 3/4BD et PM = 3/2BD
⇒ PM = 2MN
⇒ PM et MN colinéaires
⇒ M, N et P alignés
B)
Repère (A;AB,AC)
a) ABCD parallélogramme ⇒ CD = -AB
⇒ AD = AC + CD = AC - AB
⇒ AD(-1;1)
b) BM = 1/2AB
⇒ BA + AM = 1/2AB
⇔ AM = 3/2AB
⇒ M(3/2;0)
AN = 3/4(AB + AD)
⇔ AN = 3/4(AB + AC - AB) = 3/4AC
⇒ N(0;3/4)
et AP = 3/2AD = 3/2(-AB + AC)
⇒ P(-3/2;3/2)
c) Dans le repère (A;AB;AC) :
M(3/2;0)
N(0;3/4)
P(-3/2;3/2)
⇒ NM(3/2;-3/4) et NP(-3/2;3/4)
⇒ NM = -NP
⇒ NM et NP colinéaires
⇒ M, N et P alignés
(n'oublie pas les flèches sur tous les vecteurs)