Bonjour,
1) a) I milieu de [AB] ⇒ IA + IB = 0 (vecteur nul avec une flèche)
b) MI = MA + AI
et MI = MB + BI
Donc 2MI = (MA + AI) + (MB + BI)
⇔ 2MI = MA + MB + AI + BI
⇔ 2MI = MA + MB car AI + BI = 0
⇔ MI = 1/2(MA + MB)
2) a) On applique la formule précédente aux 3 milieux A', B' et C' :
MA' = 1/2(MB + MC)
MB' = 1/2(MA + MC)
MC' = 1/2(MA + MB)
M = A ⇒ AA' = 1/2(AB + AC)
M = B ⇒ BB' = 1/2(BA + BC)
M = C ⇒ CC' = 1/2(CA + CB)
b) On en déduit :
AA' + BB' + CC' = 1/2(AB + AC) + 1/2(BA + BC) + 1/2(CA + CB)
= 1/2(AB + AC + BA + BC + CA + CB)
= 0 (car AB+BA=0, AC+CA=0 et BC+CB=0)
c) G centre de gravité de ABC. G est donc l'intersection des médianes de ABC, donc des droites (AA'), (BB') et (CC') et est situé aux 2/3 des sommets sur chaque médiane :
AG = 2/3 x AA'
BG = 2./3 x BB'
CG = 2/3 x CC'
On en déduit :
GA + GB + GC = -2/3(AA' + BB' + CC') = 0
