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résolu

Bonjour, pouvez vous m'aider, je n'y comprends rien du tout ?

On note n un nombre entier naturel et différent de 0, donc n ∈ ℕ*.

1. Démontrer que pour tout n ∈ ℕ*,1/n(n+1) = 1/n−/1n+1

2. En déduire le résultat de A=1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5

3. En déduire, pour n ∈ ℕ*, une simplification de :
S(n)=1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5 +.....+ 1/(n−1) × n + 1/n×(n−1)

4. Déterminer S(99) .

Voici l'énoncé plus clair (ex 2)

Répondre :

Bonjour ;

1)

[tex]\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n + 1 - n}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n(n+1)} .[/tex]

2)

[tex]A=\dfrac{1}{1\times2} + \dfrac{1}{2\times3} + \dfrac{1}{3\times4}+\dfrac{1}{4\times5} \\\\ = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} .[/tex]

3)

[tex]S(n)=\dfrac{1}{1\times2} + \dfrac{1}{2\times3} + \dfrac{1}{3\times4}+ ... +\dfrac{1}{n\times(n+1)} \\\\ = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} - .... - \dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1} .[/tex]

4)

[tex]S(99) = \dfrac{99}{100} = 0,99 .[/tex]
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