Bonjour,
3) a) q divise n
on pose : n = qr avec r ∈ Z*
n et m sont premiers entre eux
⇒ D'après le théorème de Bezout, il existe 2 entiers relatifs u' et v' tels que :
nu' + mv' = 1
⇔ qru' + mv' = 1
On pose u = u ' et v = -v' :
⇒ qru - mv = 1 ⇔ nu - mv = 1
b) D'après 2)a) :
M(x₀;y₀) ∈ Δ avec x₀ et y ₀ entiers relatifs ⇔ q(mx₀ - ny₀) = np
⇔ q(mx₀ - ny₀) = qrp
⇒ (car q ≠ 0) mx₀ - ny₀ = rp
Or : nu - mv = 1 ⇔ rp = n(urp) - m(vrp)
Donc le couple : x₀ = -vrp et y₀ = -urp est solution
Il existe donc un point de Δ à coordonnées entières si et seulement si q divise n
4) m = 3, n = 8, p = 7 et q = 4
on vérifie bien m et n premiers entre eux et p et q premiers entre eux.
q divise n
Donc Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
5)a)
Si Q divise N
Alors (X , M*X/N - P/Q) et (-X , -M*X/N - P/Q) sont toujours des coordonnées d'un point de Δ
Et si Q ne divise pas N, fin immédiate
Donc l'algo se termine toujours
b) Si Q divise N, affiche le point de Δ de coordonnées entières avec la plus petite abscisse possible (en valeur absolue)
Si Q ne divise pas N, affiche "Pas de solution"
