Bonjour,
f(x) = xeˣ/(eˣ - 1)
1) Quand x → -∞, lim xeˣ = 0⁻ (théorème)
et lim (eˣ - 1) = -1
Donc lim f(x) = 0⁺
2) a) x[1 + 1/(eˣ - 1)]
= x + x/(eˣ - 1)
= [x(eˣ - 1) + x]/(eˣ - 1)
= xeˣ/(eˣ - 1)
= f(x)
b) Donc lim f(x) quand x → +∞ = lim x[1 + 1/(eˣ - 1)] = lim x = +∞
car lim 1/(eˣ - 1) = 0
3) lim f(x) quand x → 0 = lim eˣ/[(eˣ - 1)/x]
Or lim (eˣ - 1)/x quand x → 0 = 1 (théorème)
donc lim f(x) = lim eˣ = 1
Soit lim f(x) quand x → 0 = f(0)
donc f est continue en x = 0
4) Soit d(x) = eˣ - (x + 1) définie sur R
d'(x) = eˣ - 1
x -∞ 0 +∞
d'(x) - 0 +
d(x) décroiss. croissante
d(0) = e⁰ - (0 + 1) = 0
⇒ pour tout x ∈ R, d(x) ≥ 0
⇔ eˣ ≥ (x + 1)
5) f'(x) = [(eˣ + xeˣ)(eˣ - 1) - xeˣeˣ]/(eˣ - 1)²
= (e²ˣ - eˣ - xeˣ)/(eˣ - 1)²
= eˣ(eˣ - x - 1)/(eˣ - 1)²
soit, en posant g(x) = (eˣ - x - 1) : f'(x) = eˣg(x)/(eˣ - 1)²
D'après la question précédente, g(x) ≥ 0 sur R
6)
x -∞ 0 +∞
g(x) + 0 +
f'(x) + || +
f(x) 0 croissante 1 croissante +∞
