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résolu

Bonjour , Soit x un nombre positif compris entre 0 et 10.
Triangle ABC:
AC= x+7
AB= x+8
CB= 5
L'unité est le centimètre.
1) a- Calculer AB et AC lorsque x=4
b- Lorsque x=4, le triangle ABC est il rectangle? Justifier la reponse.
2) a- Développer et réduire (x+7)² et (x+8)²
b- En déduire que AB²-AC² = 2x+15.
3)a-Quelle est la valeur de AB²-AC² lorsque x=0? lorsque x=5? lorsque x=10?
b- La valeur de BC² dépend-elle du nombre x?
c-Existe-t-il une valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle?

Répondre :

GREENCALOGEROVIZ
Bonjour,

1)a) Si x=4 donc:
AC=x+7=4+7=11 cm
AB=x+8=4+8=12 cm

b) ABC est rectangle en B si et seulement si AB²=AC²+BC².
AB²=12²=144
AC²=11²=121
BC²=5²=25
On constate que AB²≠AC²+BC² donc ABC n'est pas rectangle si x=4.

2)a) Nous allons utiliser la formule suivante (a+b)²=a²+2ab+b²
(x+7)²=(x)²+2*x*7+7²=x²+14x+49
(x+8)²=(x)²+2*x*8+8²=x²+16x+64

b) AB²-AC²
=(x+8)²-(x+7)²
=x²+16x+64-(x²+14x+49)
=x²+16x+64-x²-14x-49
=2x+15------> CQFD

3)a) Si x=0 alors 2*0+15=15
       Si x=5 alors 2*5+15=25
       Si x=10 alors 2*10+15=35

b) D'après l'énoncé, on a BC=5 donc BC²=25 donc x n'apparaît pas donc la valeur ne dépend pas de x.

c) Le triangle ABC est rectangle en B si et seulement si AB²=AC²+BC².
On part donc de cette relation:
AB²=AC²+BC²
BC²=AB²-AC²
On sait déjà (par 2)b) que AB²-AC²=2x+15 et que BC=5 donc
5²=2x+15
25=2x+15
2x=10
x=5
ABC est un triangle rectangle si x=5
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