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Bonjour,
[tex] \int{x^2*e^{3x}} \, dx =x^2*\dfrac{e^{3x}}{3}- \dfrac{2}{3}*\int {x*e^{3x}} \, dx\\\\ =x^2*\dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{2}{3}[x*e^{3x}}{3}-\dfrac{1}{3} \int{e^{3x}} \, dx]\\\\ =e^{3x}*[ \dfrac{x^2}{3} -\dfrac{2x}{9} +\dfrac{2}{9}]+C [/tex]
Une autre méthode : on admet que [tex] \int {x^n*e^{3x}} \, dx =(a_n^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0)*e^{3x} [/tex]
[tex]\int{x^2*e^{3x}} \, dx =(ax^2+bx+c)*e^{3x}\\\\ x^2*e^{3x}=(2ax+b)*e^{3x}+3*(ax^2+bx+c)*e^{3x}\\\\ =e^{3x}(3ax^2+(2a+3b)x+3c+b)\\\\ On\ a:\\\\ 3a=1 \ \ a=\dfrac{1}{3}\\\\ b=-\dfrac{2}{9}\\\\ c=\dfrac{2}{27} [/tex]
[tex] \int{x^2*e^{3x}} \, dx =x^2*\dfrac{e^{3x}}{3}- \dfrac{2}{3}*\int {x*e^{3x}} \, dx\\\\ =x^2*\dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{2}{3}[x*e^{3x}}{3}-\dfrac{1}{3} \int{e^{3x}} \, dx]\\\\ =e^{3x}*[ \dfrac{x^2}{3} -\dfrac{2x}{9} +\dfrac{2}{9}]+C [/tex]
Une autre méthode : on admet que [tex] \int {x^n*e^{3x}} \, dx =(a_n^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0)*e^{3x} [/tex]
[tex]\int{x^2*e^{3x}} \, dx =(ax^2+bx+c)*e^{3x}\\\\ x^2*e^{3x}=(2ax+b)*e^{3x}+3*(ax^2+bx+c)*e^{3x}\\\\ =e^{3x}(3ax^2+(2a+3b)x+3c+b)\\\\ On\ a:\\\\ 3a=1 \ \ a=\dfrac{1}{3}\\\\ b=-\dfrac{2}{9}\\\\ c=\dfrac{2}{27} [/tex]
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