Bonjour,
Partie A
1) C'(t) = 12 * 7/80e^(-7t/80) = 84/80 * e^(-7t/80) = 21/20 * e^(-7t/80)
⇒ C'(t) > 0 sur [0;+∞[ ⇒ C(t) est croissante
t 0 +∞
C'(t) +
C(t) croissante
2) lim C(t) quand t→+∞ = 12 car lim e^(-7t/80) = 0
Donc le plateau de 15 n'est pas atteint : Le traitement n'est pas efficace
Partie B
f(x) = 105/x * (1 - e^(-3x/40)) définie sur ]0;+∞[
1) f est de la forme u x v avec :
u(x) = 105/x ⇒ u'(x) = -105/x²
v(x) = 1 - e^(-3x/40) ⇒ v'(x) = 3/40 * e^(-3x/40)
f' = u'v + uv'
⇒ f'(x) = -105/x² * (1 - e^(-3x/40)) + 105/x * 3/40 * e^(-3x/40)
⇔ f'(x) = 105/x² * [-1 + e^(-3x/40) + 3x/40 * e^(-3x/40)]
⇔ f'(x) = 105/x² * g(x)
avec g(x) = 3x/40 * e^(-3x/40) + e^(-3x/40) - 1
2)
x 0 +∞
g(x) 0 - -1
f'(x) || -
f(x) || décroissante
3) f(x) = 5,9
f(1) = 105(1 - e^(-3/40) ≈ 7,58
f(80) = 105/80 * (1 - e⁻⁶) ≈ 1,31
f(80) ≤ 5,9 ≤ f(1) et f est strictement décroissante sur ]0;+∞[
Donc il existe une unique valeur α ∈ ]1;80[ tel que f(α) = 5,9
On trouve α ≈ 8,1 à 0,1 près
