On appelle x la largeur du bandeau. Le problème revient à chercher la largeur x du bandeau de la cheminée pour la construire.
Ci-dessous un petit schéma pour comprendre (à regarder sur un PC, pas sur un téléphone.)
A_____________________________B
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| E___________________F |
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D H G C
D'après l'énoncée, nous savons que :
AB = 1
CD = 0,75
DH = CG = x (qui représente donc la largeur du bandeau de la cheminée, constante)
L'aire de l'ouverture est représentée sur le schéma par l'aire du rectangle EFGH.
Nous allons exprimer l'aire de EFGH en fonction de la largeur x du bandeau.
Si on appelle R, l'aire de EFGH, R = GH × EH
Or GH = CD-HD-CG
Donc (voir les rappelles de l'énoncés ci-dessus) GH =0,75 - x - x = 0,75 -2x
Nous pouvons aussi déterminer la longueur EH, puisque la largeur du bandeau est constante, ce bandeau au-dessus la cheminée a aussi pour largeur x. Donc EH = AD - x = 1-x
Donc l'aire R de EFGH est
R = GH × EH = (0,75 - 2x) × (1 - x) = 0,75 - 0,75x -2x + 2x²
R = 2x² - 2,75x + 0,75
Le problème revient donc à résoudre l'inéquation
R > 0,35 ⇔ 2x² - 2,75x + 0,75 > 0,35
2x² - 2,75x + 0,75 > 0,35 ⇔ 2x² - 2,75x + 0,4 > 0
D'après le cours sur les polynômes du second degrés (de type ax² + bx + c), le polynôme est du signe de a, sauf entre les racines du polynôme.
Donc ici, puisque a=2, le polynôme 2x² - 2,75x + 0,4 est positif sauf entre ses racines.
Pour résoudre R>0,35, nous devons donc d'abord déterminer les racines du polynôme 2x² - 2,75x + 0,4, c'est-à-dire résoudre l'équation
2x² - 2,75x + 0,4 = 0
Pour cela calculons le discriminant Δ avec la formule Δ = b²-4ac
Δ = 2,75²-4×2×0,4 = 4,3625
Les racines sont donc
(formules [tex]x_1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} [/tex] et [tex]x_2= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} [/tex]
[tex]x_1= \frac{2,75- \sqrt{4,3625} }{2*2} [/tex] ≈ 0,1653
et
[tex]x_2= \frac{2,75+ \sqrt{4,3625} }{2*2} [/tex] ≈ 1,2096
Donc 2x² - 2,75x + 0,75 > 0,35
⇔ x ∈ ]-∞ ; [tex]\frac{2,75- \sqrt{4,3625} }{2*2} [/tex] [ ∪ ][tex]\frac{2,75+ \sqrt{4,3625} }{2*2} [/tex] ; +∞[
Cependant nous savons que x est la largeur du bandeau donc x>0 et de plus, la largeur totale de la cheminée est de 0,75 mètre, donc x<0,75.
Donc en conclusion, R > 0,35 ⇔ x ∈ ]0 ; [tex]\frac{2,75- \sqrt{4,3625} }{2*2} [/tex][
soit environ x∈]0 ; 0,1653[ en mètre.
(Bien sûr si x=0, le bandeau n'existerait pas, donc 0 est exclu.)
Pour que l'aire d'ouverture de la cheminé soit supérieure à 0,35, il faut donc que la largeur du bandeau soit comprise entre 0 et ≈ 0,1653 mètre soit 0 et ≈ 16,5 cm.
