RĂ©pondre :
Exercice 1
Question 1a
1ère methode : un peu plus compliquée (niveau Première S. Tu peux passer directement à la 2ème méthode si tu es au collège.)
[tex]f(x) = -4x^2+6x-6[/tex]
On commence par mettre -4 en facteur, puisqu'on nous demande de démontrer que [tex]f(x)=-4(x- \frac{3}{4} )^2- \frac{15}{4}[/tex] donc (-4) est en facteur dans l'expression de f(x) qu'on demande de trouver :
[tex]f(x) = -4x^2+6x-6 = -4( x^{2} - \frac{6}{4} x)-6[/tex]
On doit ensuite faire apparaître une identité remarquable du type (a-b)² puisque dans le résultat figure une identité remarquable :
[tex](x- \frac{3}{4} )^2[/tex]
Puisque (a-b)² = a²-2ab+b², on va utiliser cette égalité pour que
[tex](x^2- \frac{6}{4}x ) [/tex] correspondent à (a²-2ab).
Il nous manque donc +b². Nous allons donc ajouter +b², pour faire apparaître l'identité remarquable et ensuite soustraire b².
C'est-à -dire que nous avons a²-2ab que nous allons transformer en
a²-2ab+b²-b²
Il faut donc trouver Ă quoi correspond "b".
Dans [tex](x^2- \frac{6}{4}x )[/tex], "2ab" correspond à [tex]\frac{6}{4}x [/tex] et "a²" correspond à "x²" donc "a" correspond à "x".
Par conséquent "2b" correspond à [tex] \frac{6}{4} [/tex]
donc "b" correspond Ă [tex]\frac{3}{4}[/tex]
et donc "b²" correspond à [tex]\frac{9}{16}[/tex]
Nous allons donc successivement ajouter puis soustraire [tex]\frac{9}{16}[/tex]
[tex]f(x) = -4( x^{2} - \frac{6}{4} x)-6 = -4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16})-6[/tex]
Nous allons sortir le dernier [tex]- \frac{9}{16} [/tex] de la parenthèse en le multipliant par (-4) puisque (-4) est en facteur.
Cela donne :
[tex]f(x) =-4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16})-6=-4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} )+ \frac{9}{4} -6[/tex]
Nous avons ainsi l'identité remarquable que nous voulions faire apparaître puisque [tex]x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} = (x- \frac{3}{4} )^2[/tex]
Donc
[tex]f(x) =-4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} )+ \frac{9}{4} -6=-4(x-\frac{3}{4} )^2+ \frac{9}{4} -6[/tex]
Il faut donc calculer [tex]\frac{9}{4} -6 = \frac{9-24}{4} = \frac{-15}{4} [/tex]
Donc
[tex]f(x) =-4(x-\frac{3}{4} )^2+ \frac{9}{4} -6=-4(x-\frac{3}{4} )^2- \frac{15}{4} [/tex]
2ème méthode : beaucoup plus simple mais en partant du résultat
[tex]f(x)=-4(x-\frac{3}{4} )^2- \frac{15}{4} = -4( x^{2} -2* \frac{3}{4} x+ \frac{9}{16} )- \frac{15}{4} [/tex]
[tex]f(x)= -4( x^{2} - \frac{3}{2} x+ \frac{9}{16})- \frac{15}{4} [/tex]
[tex]f(x)=-4x^{2} - \frac{4*3}{2} x- \frac{9}{4}- \frac{15}{4} [/tex]
[tex]f(x)=-4x^{2} - 6x- \frac{26}{4}[/tex]
[tex]f(x)=-4x^{2} - 6x- 6[/tex]
Rien ne t'empêche de recopier ces calculs en sens inverse puisque ce sont des égalités.
Question 1b : on remplace x par (-1) dans -4x²+6x-6.
Donc f(-1)= -4-6-6 = (-16)
Question 1c: on remplace x par 2 dans 8x+8. Donc g(2) = 8Ă—2+8 =24
Question 1d : on remplace x par 1 dans -4x²+6x-6.
Donc f(1) = -4+6-6 = (-4)
Question 1e : on remplace x par (-2) dans 8x+8.
Donc g(-2) = 8Ă—(-2)+8 =(-16)+8 = (-8)
Question 2 : Les images correspondent bien sûr à la ligne h(x) du tableau et les antécédents à la ligne x.
Question 2a : on cherche x tel que h(x) = (-2). On cherche donc l'antécédent de (-2). Donc, dans la ligne h(x), on cherche (-2) et on regarde, sur la ligne supérieure, quel est x dans la même colonne. On trouve h(-4) = -2
Question 2b : on fait de la même façon pour h(x)= -4. On trouve h(3) = -4
Question 2c : il faut faire l'inverse. On cherche 1 dans la ligne des x et on regarde quelle est l'image h(x) dans la même colonne à la ligne inférieure. h(1) = -1
Question 2d : mĂŞme principe que question 2c mais avec x=(-2). On trouve h(-2) = 0
Question 3 : cela correspond Ă la lecture d'un graphique.
Les antécédents sont sur l'axe horizontale des abscisses.
Les images sont sur l'axe verticale des ordonnées.
Question 3a : On se place sur (-3) au niveau de l'axe horizontal. A partir de là , on trace une verticale et on regarde,sur l'axe verticale, l'ordonnée du point où cette verticale coupe la courbe. On trouve k(-3) = 3
Question 3b : On effectue l'inverse de la question précédente. On se place au niveau de (-2) sur l'axe verticale et on trace une horizontale. On regarde, sur l'axe horizontale, les abscisses du ou des points où cette horizontale coupe la courbe. Ici il existe en fait deux points d'intersection,donc deux antécédents possibles pour (-2). Mais pour l'un d'eux, la valeur est facile à déterminer : il s'agit de (-1). L'autre valeur possible est environ (-2,4).
Donc,s'il faut ne donner qu'une seule réponse, k(-1) = (-2) mais tu peux préciser qu'il existe un autre antécédent de (-2), proche de (-2,4).
Question 3c : même principe. On trouve (-2) parmi les antécédents de (-3) (donc k(-2) = (-3)) et un autre antécédent possible proche de (-1,6)
Question 3d : k(3) = 2 (mĂŞme principe que question 3a)
Exercice 2
A = (7x-2)² = 49x²-28x+4
développement d'une identité remarquable (a-b)² = a²-2ab+b²
B = (9x-8)(9x+8) = 81x²-64
développement d'une identité remarquable (a-b) (a+b) = a²-b²
Question 1a
1ère methode : un peu plus compliquée (niveau Première S. Tu peux passer directement à la 2ème méthode si tu es au collège.)
[tex]f(x) = -4x^2+6x-6[/tex]
On commence par mettre -4 en facteur, puisqu'on nous demande de démontrer que [tex]f(x)=-4(x- \frac{3}{4} )^2- \frac{15}{4}[/tex] donc (-4) est en facteur dans l'expression de f(x) qu'on demande de trouver :
[tex]f(x) = -4x^2+6x-6 = -4( x^{2} - \frac{6}{4} x)-6[/tex]
On doit ensuite faire apparaître une identité remarquable du type (a-b)² puisque dans le résultat figure une identité remarquable :
[tex](x- \frac{3}{4} )^2[/tex]
Puisque (a-b)² = a²-2ab+b², on va utiliser cette égalité pour que
[tex](x^2- \frac{6}{4}x ) [/tex] correspondent à (a²-2ab).
Il nous manque donc +b². Nous allons donc ajouter +b², pour faire apparaître l'identité remarquable et ensuite soustraire b².
C'est-à -dire que nous avons a²-2ab que nous allons transformer en
a²-2ab+b²-b²
Il faut donc trouver Ă quoi correspond "b".
Dans [tex](x^2- \frac{6}{4}x )[/tex], "2ab" correspond à [tex]\frac{6}{4}x [/tex] et "a²" correspond à "x²" donc "a" correspond à "x".
Par conséquent "2b" correspond à [tex] \frac{6}{4} [/tex]
donc "b" correspond Ă [tex]\frac{3}{4}[/tex]
et donc "b²" correspond à [tex]\frac{9}{16}[/tex]
Nous allons donc successivement ajouter puis soustraire [tex]\frac{9}{16}[/tex]
[tex]f(x) = -4( x^{2} - \frac{6}{4} x)-6 = -4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16})-6[/tex]
Nous allons sortir le dernier [tex]- \frac{9}{16} [/tex] de la parenthèse en le multipliant par (-4) puisque (-4) est en facteur.
Cela donne :
[tex]f(x) =-4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16})-6=-4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} )+ \frac{9}{4} -6[/tex]
Nous avons ainsi l'identité remarquable que nous voulions faire apparaître puisque [tex]x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} = (x- \frac{3}{4} )^2[/tex]
Donc
[tex]f(x) =-4( x^{2} - \frac{6}{4} x + \frac{9}{16} )+ \frac{9}{4} -6=-4(x-\frac{3}{4} )^2+ \frac{9}{4} -6[/tex]
Il faut donc calculer [tex]\frac{9}{4} -6 = \frac{9-24}{4} = \frac{-15}{4} [/tex]
Donc
[tex]f(x) =-4(x-\frac{3}{4} )^2+ \frac{9}{4} -6=-4(x-\frac{3}{4} )^2- \frac{15}{4} [/tex]
2ème méthode : beaucoup plus simple mais en partant du résultat
[tex]f(x)=-4(x-\frac{3}{4} )^2- \frac{15}{4} = -4( x^{2} -2* \frac{3}{4} x+ \frac{9}{16} )- \frac{15}{4} [/tex]
[tex]f(x)= -4( x^{2} - \frac{3}{2} x+ \frac{9}{16})- \frac{15}{4} [/tex]
[tex]f(x)=-4x^{2} - \frac{4*3}{2} x- \frac{9}{4}- \frac{15}{4} [/tex]
[tex]f(x)=-4x^{2} - 6x- \frac{26}{4}[/tex]
[tex]f(x)=-4x^{2} - 6x- 6[/tex]
Rien ne t'empêche de recopier ces calculs en sens inverse puisque ce sont des égalités.
Question 1b : on remplace x par (-1) dans -4x²+6x-6.
Donc f(-1)= -4-6-6 = (-16)
Question 1c: on remplace x par 2 dans 8x+8. Donc g(2) = 8Ă—2+8 =24
Question 1d : on remplace x par 1 dans -4x²+6x-6.
Donc f(1) = -4+6-6 = (-4)
Question 1e : on remplace x par (-2) dans 8x+8.
Donc g(-2) = 8Ă—(-2)+8 =(-16)+8 = (-8)
Question 2 : Les images correspondent bien sûr à la ligne h(x) du tableau et les antécédents à la ligne x.
Question 2a : on cherche x tel que h(x) = (-2). On cherche donc l'antécédent de (-2). Donc, dans la ligne h(x), on cherche (-2) et on regarde, sur la ligne supérieure, quel est x dans la même colonne. On trouve h(-4) = -2
Question 2b : on fait de la même façon pour h(x)= -4. On trouve h(3) = -4
Question 2c : il faut faire l'inverse. On cherche 1 dans la ligne des x et on regarde quelle est l'image h(x) dans la même colonne à la ligne inférieure. h(1) = -1
Question 2d : mĂŞme principe que question 2c mais avec x=(-2). On trouve h(-2) = 0
Question 3 : cela correspond Ă la lecture d'un graphique.
Les antécédents sont sur l'axe horizontale des abscisses.
Les images sont sur l'axe verticale des ordonnées.
Question 3a : On se place sur (-3) au niveau de l'axe horizontal. A partir de là , on trace une verticale et on regarde,sur l'axe verticale, l'ordonnée du point où cette verticale coupe la courbe. On trouve k(-3) = 3
Question 3b : On effectue l'inverse de la question précédente. On se place au niveau de (-2) sur l'axe verticale et on trace une horizontale. On regarde, sur l'axe horizontale, les abscisses du ou des points où cette horizontale coupe la courbe. Ici il existe en fait deux points d'intersection,donc deux antécédents possibles pour (-2). Mais pour l'un d'eux, la valeur est facile à déterminer : il s'agit de (-1). L'autre valeur possible est environ (-2,4).
Donc,s'il faut ne donner qu'une seule réponse, k(-1) = (-2) mais tu peux préciser qu'il existe un autre antécédent de (-2), proche de (-2,4).
Question 3c : même principe. On trouve (-2) parmi les antécédents de (-3) (donc k(-2) = (-3)) et un autre antécédent possible proche de (-1,6)
Question 3d : k(3) = 2 (mĂŞme principe que question 3a)
Exercice 2
A = (7x-2)² = 49x²-28x+4
développement d'une identité remarquable (a-b)² = a²-2ab+b²
B = (9x-8)(9x+8) = 81x²-64
développement d'une identité remarquable (a-b) (a+b) = a²-b²
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