Les points I et I' partagent le segment AB en 3 parties égales
Les points J et J' partagent le segment AC en 3 parties égales
Les points K et K' partagent le segment AD en 3 parties égales
Dans le référentiel choisi, BC est l'axe des x, BD l'axe des Y, BA l'axe des z :
B = ( 0 ; 0 ; 0 )
C = ( 1 ; 0 ; 0 )
D = ( 0 ; 1 ; 0 )
A = ( 0 ; 0 ; 1 )
I = ( 0 ; 0; 2/3 )
I' = ( 0 ; 0 ; 1/3 )
J = ( 1/3 ; 0 ; 2/3 )
J' = ( 2/3 ; 0 ; 1/3 )
K = ( 0 ; 1/3 ; 2/3 )
K' = ( 0 ; 2/3 ; 1/3 )
CI = I - C = ( 0 ; 0 ; 2/3 ) - ( 1 : 0 ; 0 ) = ( -1 ; 0 ; 2/3 )
BJ' = J' - B = ( 2/3 ; 0 ; 1/3 ) - ( 0 ; 0 ; 0 ) = ( 2/3 ; 0 ; 1/3 )
La droite CI a pour équation paramétrique :
( x ; y ; z ) = C + t CI
( x ; y ; z ) = ( 1 ; 0 ; 0 ) + t ( -1 ; 0 ; 2/3 )
x = 1 - t
y = 0 + 0 t = 0
z = 0 + 2/3 t = 2/3 t
la droite BJ' a pour équation paramétrique :
( x ; y ; z ) = B + u . BJ'
( x ; y ; z ) = ( 0 ; 0 ; 0 ) + u . ( 2/3 ; 0 ; 1/3 )
x = 2/3 u
y = 0
z = 1/3 u
Pour trouver les coordonnées de E, point d'intersection de CI et BJ', il faut éliminer les paramètres t et u des équations respectives des 2 droites
Pour CI : x = 1 - 3/2 z
Pour BJ' x = 2z
1 - 3/2 z = 2 z
2z + 3/2 z = 1
4/2 z + 3/2 z = 1
7/2 z = 1
z = 2/7
x = 2 z = 2 . 2/7 = 4/7
Les coordonnées de E sont : ( 4/7 ; 0 ; 2/7 )
G est à l'intersection de BK et de DI', dont les vecteurs sont :
BK = K - B = ( 0 : 1/3 ; 2/3 ) - ( 0 ; 0 ; 0 ) = ( 0 ; 1/3 ; 2/3 )
DI' = I' - D = ( 0 ; 0 ; 1/3 ) - ( 0 ; 1 ; 0 ) = ( 0 ; -1 ; 1/3 )
L'équation paramétrique de BK est :
( x ; y ; z ) = B + t BK = ( 0 ;0 ; 0 ) - t ( 0 ; 1/3 ; 2/3 )
x = 0
y = 1/3 t
z = 2/3 t
L'équation paramétrique de DI' est ;
( x ; y ; z ) = D + u DI' = ( 0 ; 1 ; 0 ) + u ( 0 ; -1 ; 1/3 )
x = 0
y = 1 - u
z = 1/3 u
Pour trouver les coordonnées du point G, intersection de BK et DI', éliminer les paramètres u et t des équations respectives des 2 droites :
Pour BK : z = 2 y
Pour DI' y = 1 - 3 z
y = 1 - 3 . 2 . y = 1 - 6y
7y = 1
y = 1/7
z = 2y = 2/7
Les coordonnées du point G sont ( 0 ; 1/7 ; 2/7 )
On donne les coordonnées du point F ( 1/7 ; 4/7 ; 2/7 )
On constate que les points E, F et G on la même coordonnée z ( 2/7 )
Le plan EFG est donc défini par 3 point ayant la même élévation, il s'agit d'un plan parallèle aux axes x et y, le plan EFG est donc parallèle au plan BCD.
