Bonsoir,
Soit la fonction f définie et continue sur [-π/2 ; π/2] par f(x) = √cos(x)
1) Dans [-π/2 ; π/2], cos(x) > 0 ⇔ x∈]-π/2 ; π/2[
Donc f est dérivable sur ]-π/2 ; π/2[
2) f'(x) = -sin(x)/(2√cos(x)) (en effet c'était correct)
3) ∀x∈]-π/2 ; π/2[, 2√cos(x) > 0, donc le signe de f' dépend du signe de sin(x)
On sait que la fonction sinus est négative sur ]-π/2 ; 0] et est positive sur [0 ; π/2[
Donc :
∀x∈]-π/2 ; 0], sin(x)/(2√cos(x)) < 0
∀x∈[0 ; π/2[, sin(x)/(2√cos(x)) > 0
D'où :
∀x∈]-π/2 ; 0], -sin(x)/(2√cos(x)) > 0
∀x∈[0 ; π/2[, -sin(x)/(2√cos(x)) < 0
Donc f' est positive sur ]-π/2 ; 0] et est négative sur [0 ; π/2[
Donc f est croissante sur [-π/2 ; 0] puis décroissante sur [0 ; π/2]
