Bonsoir ;
1)
Veuillez-trouver une esquisse du schéma dans le fichier ci-joint .
2)
Le point M se déplace sur le demi-cercle ,
donc on a : 0 ≤ AB ≤ 2 OA ;
donc : 0 ≤ x ≤ 2 .
3)
Quand B est confondu avec le point A on a f(x) = 0 , puis en
déplaçant le point B à droite sur le demi-cercle , f(x) augmente
jusqu'à atteindre 0,5 pour x ≈ 1,4 ; puis f(x) diminue jusqu'à atteindre 0 .
4)
Le triangle OAB est isocèle en O , donc on a : HB = HA = AB/2 = x/2 .
Le triangle OAH est rectangle en H ;
donc en appliquant le théorème de pythagore , on a :
OH² = OA² - AH² = 1 - (x/2)² = 1 - x²/4 = (4 - x²)/4 ;
donc : OH = (√(4 - x²))/2 .
On a : f(x) = 1/2 OH * AB = x/2 * (√(4 - x²))/2 = x/4 * √(4 - x²) .
5)
a)
Une esquisse de la représentation graphique est sur le fichier ci-joint .
b)
Le tableau de variation de la fonction f est aussi dans le fichier ci-joint .
Le maximum de f est : 1/2 .
6)
a)
Je vous laisse l'honneur de faire le tableau .
La valeur de x correspondant au maximum de f semble être : 1,414 .
b)
L'aire de OAB est : 1/2 * BM * OA = 1/2 * BM .
L'aire de OAB est maximale quand le triangle OAB
est rectangle en O (M confondu avec O) .
Dans ce cas on a : AB² = OA² + OB² = 2 ;
donc : AB = √2 ;
donc : x = √2 .
7)
f(x) = 0,3 ;
donc : x/4 * √(4 - x²) = 0,3 ;
donc : x * √(4 - x²) = 1,2 ;
donc : x² (4 - x²) = 1,44 ;
donc : 4x² - (x²)² = 1,44 ;
donc : (x²)² - 4x² + 1,44 = 0 ;
donc : Δ = 16 - 4 * 1,44 = 10,24 = (3,2)² ;
donc : x²1 = (4 - 3,2)/2 = 0,8/2 = 0,4 , donc x1 ≈ 0,6 ;
et : x²2 = (4 + 3,2)/2 = 7,2/2 = 3,6 , donc x2 ≈ 1,9 ;
