Bonjour,
x : inconnue
* : signe de multiplication
1) Le triangle OAC est rectangle est isocèle en O
Donc OA = OC = 6
D'apres le theoreme de Thales,
AM/AO = MQ/OC
(6 - x)/6 = MQ/6
MQ = 6 - x
Le triangle OAB est rectangle et isocèle en O
Donc OA = OB
D'apres le theoreme de Pythagore,
AB² = OA² + OB²
...
AB² = 72
AB = √72
D'apres le theoreme de Thales,
OM/OA = MN/AB
x/6 = MN/√72
MN = √72x ÷ 6 = √2x
2) Aire d'un rectangle : L * l
A(x) = MN * MQ
A(x) = ...
3a) -√2 * (x - 3)² + 9√2
= -√2 * (x² - 6x + 9) + 9√2
= ...
3b) A(x) = -√2 (x - 3)² + 9√2 est une fonction polynome du 2nd degré sous la forme canonique : a (x - α)² + β où α est l'abscisse du sommet et β, son ordonnée.
α = -3
β = 9√2
S (-3 ; 9√2)
-3 ∈ [0 ; 6]
Donc la fonction A admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 6].
On doit placer M à 3 cm de O pour que l'aire du rectangle MNPQ soit maximale.
