Bonjour,
1) oui, car il n'y a qu'une valeur de f(x) (le nombre de pommes avariées non détectées par heure) pour une valeur de x(x centaines de pommes triées). Ce qui définit bien une fonction.
Les valeurs de x vont de 42 centaine à 50 centaines, donc :
Df = [42;50]
f(45) = 117
et f(x) = 172 ⇒ x = 50
f(x) = x² - 84x + 1872 avec x ∈ [42;50]
2) Df = [42;50]
f'(x) = 2x - 84
f'(x) = 0 ⇒ 2x - 84 = 0 ⇔ x = 42
Donc f'(x) ≥ 0 sur Df
x 42 50
f'(x) +
f(x) croissante
f(42) = 42² - 84*42 + 1872 = 108
f(50) = 50² - 84*50 + 1872 = 172
3) Les valeurs de f(x) pour les valeurs de x du tableau expérimental donnent bien les résultats obtenus :
x 42 43 44 45 46 47 48 49 50
f(x) 108 109 112 117 124 133 144 157 172
4)
Argument 1 : 45 ≤ 45,65 ≤ 46
Donc f(45) ≤ f(45,65) ≤ f(46) car f est croissante sur Df.
Argument 2 : f donne bien les valeurs obtenues expérimentalement pour les valeurs entières de x. Donc on peut supposer que f donne également une bonne approximation pour les valeurs non entières de x appartenant à Df.
f(45,65) = (45,65)² - 84*45,65 + 1872 = 121,3225 soit 121 pommes avariées non détectées par heures.
5) Le tri est satisfaisant si f(x) ≤ 3% du nombre de centaines de pommes triées.
Soit 3x, x étant exprimé en centaines de tonnes
Et donc si f(x) ≤ 3x
6) Voir courbes ci-joint sur [42;50]
g est une fonction linéaire
La zone des x tels que f(x) ≤ g(x) va de x = 42 à x = 48
7) f(x) - 3x
= x² - 84x + 1872 - 3x
= x² - 87x + 1872
= (x - 43,5)² - 43,5² + 1872
= (x - 43,5)² - 1892,25 + 1872
= (x - 43,5)² - 20,25
20,25 = 4,5²
Donc f(x) - 3x = [(x - 43,5) - 4,5][(x - 43,5 + 4,5]
soit f(x) - 3x = (x - 48)(x - 39)
8) On veut f(x) - 3x ≤ 0
x 42 48 50
(x - 48) - 0 +
(x - 39) + +
f(x)-3x - 0 +
Donc il faut x ∈ [42;48]
Il faut donc trier au maximum 4800 pommes par heure pour que le tri soit satisfaisant.
