Bonjour,
voir figure
1) a) Repère (A;AB;AC)
A(0;0) B(1;0) C(0;1) ⇒ AB(1;0) et AC(0;1)
AD = 1/2AC ⇒ D(0;1/2)
AE = 1/3AB ⇒ E(1/3;0)
BF = 2BC
⇔ BA + AF = 2(BA + AC)
⇔ AF = BA + 2AC = -AB + 2AC
⇒ F(-1;2)
b) D(0;1/2) E(1/3;0) et F(-1;2)
⇒ DE(1/3;-1/2) et DF(-1;3/2)
⇒ -3DE = DF
⇒ DE et DF colinéaires
⇒ D, E et F alignés
2) a)
DE = DA + AE
= -AD + AE
= -1/2AC + 1/3AB
= 1/3AB - 1/2AC
DF = DA + AB + BF
= -AD + AB + 2BC
= -1/2AC + AB + 2(BA + AC)
= -1/2AC + AB - 2AB + 2AC
= -AB + 3/2AC
b) on en déduit : -3DE = DF
⇒ D, E et F alignés
3) a)
A, E et I alignés car I ∈ (AB)
A, D et C alignés dans le même ordre
(ED)//(IC)
Donc d'après Thalès : AD/AC = AE/AI
Or AD = 1/2AC ⇒ D milieu de [AC] ⇒ AD/AC = 1/2
Donc AE/AI = 1/2
⇒ E est le milieu de [AI]
b) E milieu de de [AI] ⇒ AE = EI
Or AE = 1/3AB
⇒ EI = 1/3AB
⇒ IB = AB - AI = AB - (AE + EI) = AB - 2/3AB = 1/3AB
⇒ IB = EI
⇒ I milieu de [EB]
c) Réciproque de Thalès
