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résolu

Bonjour pouvez-vous m'aider pour mon DM de Maths SVP
Soit f la fonction définie sur I=]-1;+∞]par: f(x)=(x³-2)/(x+1) 1.Démontrer que f est dérivable sur I et calculer f'(x) pour tout x>-1.
2.Soit g la fonction définie sur I par: g(x)=2x³+3x²+2
a.Démontrer que g est dérivable sur I et calculer g'(x) pour tout x>-1. b.étudier le signe de g'(x) pour x∈I,et en déduire les variations de la fonction g sur I.
c. démontrer que g(x)>0 pour tout x>-1
3.En déduire que f'(x)>0 pour tout x>-1 puis que la fonction f est strictement croissante sur I

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) f est un quotient de 2 fonctions rationnelles.

Donc f est dérivable sur son ensemble de définition (théorème).

f'(x) = [(3x²(x + 1) - (x³ - 2)]/(x + 1)² = (2x³ + 3x² + 2)/(x + 1)²

2) a) idem : g est un polynôme défini et dérivable sur R, et donc sur I.

g'(x) = 6x² + 6x

b) g'(x) = 6x(x + 1)

x         -1                        0                        +∞
x                       -            0            +
x + 1                +                          +
g'(x)                 -             0            +

g(x)        décroissante      croissante

c) le minimum de g(x) sur I est atteint pour x = 0 et vaut :

g(0) = 2

⇒ Pour tout x ∈ I, g(x) ≥ g(2) > 0

3) f'(x) = g(x)/(x + 1)²

⇒ f'(x) > 0 sur I

⇒ f est strictement croissante sur I
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