Bonjour,
alors pour faire simple, le placement des points D, E et F est indiqué sur le schéma.
Partie A :
1. On a EF = EA + AB + BF grâce à la relation de Chasles (avec les flèches au dessus bien sûr...)
donc EF = -1/4*AB + AB + 1/2*BC = -1/4*AB + AB + 1/2*(BA+AC) = 1/4*AB +1/2*AC.
2. On a DF = DA + AB + BF (Chasles toujours) = 1/2*AC + AB + 1/2*BC = 1/2 AC + AB + 1/2*(BA+AC) = 1/2 AC + 1/2*AB +1/2*AC = 1/2*AB + AC.
3. On remarque que EF = 1/2*DF donc les vecteurs EF et DF sont colinéaires donc les droites (EF) et (DF) sont parallèles or, elles possèdent le point F en commun, elles sont donc confondues donc les points D, E et F sont alignés.
Partie B.
1. On a AF = AB + BF = AB + 1/2*BC = AB + 1/2*(BA+AC) = 1/2*AB + 1/2*AC.
2. Ainsi, dans ce repère, on a :
AD = 0*AB - 1/2*AC donc D(0 ; -1/2)
AE = 1/4*AB + 0*AC donc E(1/4 ; 0)
AF = 1/2*AB + 1/2*AC donc F(1/2 ; 1/2).
3. Déterminons le coefficient directeur des droites (DE) et (DF) :
Pour (DE) :
(yE-yD) / (xE-xD) = (0+1/2) / (1/4 - 0) = 2.
Pour (DF) :
(yF-yD) / (xF-xD) = (1/2+1/2) / (1/2 - 0) = 2.
Donc les droites (DF) et (DE) sont parallèles avec le point D en commun donc elles sont confondues et donc parallèles.
