Alors,
première étape : montrer que (FE) est perpendiculaire à (AB).
C'est assez simple car d'après l'énoncé (et la figure), le quadrilatère ADFE possède 3 angles droits (en comptant celui indiqué par "(DF) ⊥ (CA)") ainsi ADFE est un rectangle et, du même coup, (FE) ⊥ (AB).
deuxième étape : exprimer l'aire du triangle rectangle DEF en fonction de la distance AE.
Si tu appelles [tex]x[/tex] la distance AE alors la distance EB vaut [tex]4-x[/tex].
Or, d'après l'énoncé, le triangle ABC est isocèle et rectangle en A donc, l'angle B vaut 45°, ce qui fait que le triangle BEF est aussi un triangle rectangle isocèle et donc que le côté EF=BE=[tex]4-x[/tex].
De plus, comme ADFE est un rectangle, alors DF=AE=[tex]x[/tex].
Donc, l'aire du triangle rectangle DEF est donné par la formule :
[tex] \frac{DF \times EF}{2} = \frac{x \times (4-x)}{2} [/tex]
Dernière étape : on recherche le maximum de cette fonction.
Sur cette étape, tout dépend de ta classe, si tu es en seconde, tu n'utiliseras pas les mêmes outils qu'en première ou au delà... Du coup, voici ce que ça donne en version seconde :
[tex] \frac{x \times (4-x)}{2}=- \frac{1}{2}x^{2}+2x[/tex]
C'est un polynôme du second degré représenté graphiquement par une parabole dont les branches sont orientées vers le bas (car [tex]a=- \frac{1}{2} \ \textless \ 0[/tex]) donc, elle admet un maximum pour [tex]x=- \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \times - \frac{1}{2} }=2 [/tex]
Ainsi, l'aire du triangle rectangle DEF est maximale lorsque AE = 2cm.
