Bonjour,
EX 1
Un+1 = 0,8Un + 45 et U₀ = 150
1) U₁ = 0,8 x 150 + 45 = 165
U₂ = 0,8 x 165 x + 45 = 177
2)a) Vn = Un - 225
Vn+1 = Un+1 - 225 = 0,8Un + 45 - 225 = 0,8Un - 180 = 0,8(Un - 225) = 0,8Vn
⇒ (Vn) suite géométrique de raison q = 0,8 et de 1er terme V₀ = U₀ - 225 = 150 - 225 = -75
b) On en déduit : Vn = -75 x (0,8)ⁿ
⇒ Un = Vn + 225 = 225 - 75 x (0,8)ⁿ
c) lim (0,8)ⁿ quand n → +∞ = 0
donc lim Un = 225
EX 2
f(x) = 2xe^(-x+3)
a) f'(x) = 2e^(-x + 3) - 2xe^(-x + 3) = 2(1 - x)e^(-x + 3)
b) f'(x) est du signe de (1 - x)
x 0 1 7
f'(x) + 0 -
f(x) croissante décroissante
f(0) = 0
f(1) = 2e² ≈ 14,778
f(7) = 14e⁻⁴ ≈ 0,256
c) 0 ≤ 10 ≤ 2e²
⇒ f(0) ≤ 10 ≤ f(1)
Or f est strictement croissante sur [0;1].
Donc il existe un unique x₁ ∈ [0;1] / f(x₁) = 10
De même, 2e² ≥ 10 ≥ 14e⁻⁴
⇒ f(1) ≥ 10 ≥ f(7)
Or f est strictement décroissante sur [1;7].
Donc il existe un unique un unique x₂ ∈ [1;7] / f(x₂) = 10
On trouve x₁ ≈ 0,355 et x₂ ≈ 2,160
EX 3
1) c) f(-1) = 3
2) b) f'(-1) = -2
3) c) 3 solutions
4) b) 2 solutions (tangentes horizontales)
5) a) f'(x) > 0 (f est croissante sur [-6;-4]
