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SASALA01VIZ
résolu

Bonjour à tous j'ai un DM et je n'arrive pas à faire cet exercice j'ai commencer mai je n'arrive pas à le finir merci beaucoup d'avance
Soit (Un) définie pour n ∈ N par Un₊₁ = 4 - \frac{4}{Un} , avec U₀ = 3
1) Calculer les termes U₁ , U₂ et U₃
ici j'ai trouver U₁=\frac{8}{3} U₂= \frac{5}{2} U₃ =\frac{12}{5}
2) On pose Vn = \frac{1}{Un - 2} Montrer que (Vn) est arithmétique
3) En déduire la formule explicite de (Vn), puis celle de (Un)
4) En déduire U₅₀
Mercii beaucoup, je n'arrive vraiment pas

Répondre :

Bonjour,

1) ok.
2)
[tex]U_0=3\\ U_{n+1}=4- \dfrac{4}{U_n} \\\\ V_n= \dfrac{1}{U_n-2} \\\\ V_{n+1}= \dfrac{1}{U_{n+1}-2} \\\\ = \dfrac{U_n}{2*U_n-4} \\\\ = \dfrac{U_n}{2*(U_n-2} \\\\ = \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{U_n-2} \\\\ Donc \ a=1\ et\ b=1\\\\ V_{n+1}= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{U_n-2} \\\\ \boxed{V_{n+1}= \dfrac{1}{2}+V_n}\\\\ [/tex]

3)
[tex]V_0= \dfrac{1}{U_0-2} = \dfrac{1}{3-2} =1\\\\ V_1=V_0+ \dfrac{1}{2} \\\\ V_2=V_0+ 2*\dfrac{1}{2} \\\\ ...\\\\ V_n=V_0+ n*\dfrac{1}{2} \\\\ \boxed{V_n=1+ \dfrac{1}{2}} \\\\ V_n= \dfrac{1}{U_n-2} \\\\ \boxed{U_n= \dfrac{1}{V_n} +2}\\\\ \\\\ [/tex]

[tex]U_n= \dfrac{1}{1+\dfrac{n}{2}}+2 \\\\ U_n= 2+\dfrac{2}{2+n} \\\\ 4)\\\\ U_{50}= 2+\dfrac{2}{2+50} = \dfrac{104+2}{52} = \dfrac{106}{52} \\\\ [/tex]




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