Bonjour,
Soit le polynôme complexe P défini par P(z) = z³-(6+i)z²+αz-13i, avec α∈ℂ
1. P(i) = 0
i³-(6+i)i²+αi-13i = 0
-i-(6+i)(-1)+αi-13i = 0
-i+6+i+αi-13i = 0
6+i(α-13) = 0
i(α-13) = -6
α-13 = -6/i
Or 1/i = -i
D'où α-13 = -6(-i)
α-13 = 6i
α = 13+6i
2. Ainsi, P(z) = z³-(6+i)z²+(13+6i)z-13i
On sait que i est racine de P, donc on a P(z) = (z-i)(z²+az+b), avec (a,b)∈ℝ²
D'où z³-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = (z-i)(z²+az+b)
z³-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = z³+az²+bz-iz²-aiz-bi
z³-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = z³-(-a+i)z²+(b-ai)²-bi
Donc par unicité des coefficients de P, on en déduit que a = -6 et b = 13
3. Ainsi, on a P(z) = (z-i)(z²-6z+13)
Soit l'équation dans ℂ suivante : z²-6z+13 = 0
Δ = (-6)²-4*1*13 = -16 < 0
D'où z = (-(-6)-i√16)/2 ou z = (-(-6)+i√16)/2
D'où z = (6-4i)/2 ou z = (6+4i)/2
Donc z = 3-2i ou z = 3+2i
De plus, on sait déjà que i est racine de P
Donc dans ℂ, P(z) = 0 ⇔ z = i ou z = 3-2i ou z = 3+2i
