Bonsoir,
Soient f et g deux fonctions définies sur ℝ par [tex]f(x)=xe^{1-x}[/tex] et [tex]g(x)=x^2e^{1-x}[/tex]
1. On a [tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x=-\infty[/tex] et [tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^{1-x}=e^{1-(-\infty)}=e^{1+\infty}=+\infty[/tex] car e¹ > 0
Donc par produit de limites, [tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty*(+\infty)=-\infty[/tex]
De plus, [tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2=-\infty*(-\infty)=+\infty[/tex]
Donc par produit de limites, [tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} g(x)=+\infty[/tex]
2. On sait que [tex]f(x)=xe^{1-x}=e*\frac{x}{e^x}[/tex] et que [tex]g(x)=x^2e^{1-x}=e*\frac{x^2}{e^x}[/tex]
On a également [tex]\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2=+\infty[/tex]
Or par croissances comparées, [tex]\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{x}{e^x}= \frac{1}{\frac{e^x}{x}}= \frac{1}{+\infty}=0 [/tex] et [tex]\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^2}{e^x}= \frac{1}{\frac{e^x}{x^2}}= \frac{1}{+\infty}=0 [/tex]
Donc [tex]\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x)=e*0=0[/tex]
