Répondre :
bonsoir
soit cdu le nombre
u=(c+d)/2
d'où
c+d est pair
c+d=2 d'où c=1d=1 u=2/1=1 d'où 111
c+d=4 d'où u=4/2=2 c+d=4 4=1+3 132 312
4=2+2 222
c+d=6 d(où u=3 c+d=6 6=1+5 153 513
6=4+2 423 243
6=3+3 333
c+d=8 d'où u=4 c+d=8 8=1+7 174 714
8=2+6 264 624
8= 3+5 354 534
8=4+4 444
c+d=10 d'où u=5 c+d=10 10=1+9 195 915
10=2+8 285 258
10=3+7 375 735
10=6+4 645 654
10=5+5 555
d'où
111;132;153;174;195;222;243;258;264;285;312;333;354;375;423;444;513;534;555;624;645;654;714;735;915;
soit cdu le nombre
u=(c+d)/2
d'où
c+d est pair
c+d=2 d'où c=1d=1 u=2/1=1 d'où 111
c+d=4 d'où u=4/2=2 c+d=4 4=1+3 132 312
4=2+2 222
c+d=6 d(où u=3 c+d=6 6=1+5 153 513
6=4+2 423 243
6=3+3 333
c+d=8 d'où u=4 c+d=8 8=1+7 174 714
8=2+6 264 624
8= 3+5 354 534
8=4+4 444
c+d=10 d'où u=5 c+d=10 10=1+9 195 915
10=2+8 285 258
10=3+7 375 735
10=6+4 645 654
10=5+5 555
d'où
111;132;153;174;195;222;243;258;264;285;312;333;354;375;423;444;513;534;555;624;645;654;714;735;915;
Bonsoir ;
Soit x ce nombre ;
donc on a : x = 100c + 10d + u avec c ∈ {1 ; 2; ... ; 9} ;
d et u ∈ {0 ; 1 ; 2 ; .... ; 9} .
On a : c ≠ 0 car x est un nombre de trois chiffres .
Si d = 0 ;
donc : u = (c + d)/2 = (c + 0)/2 = c/2 ;
donc : c est un nombre pair ;
donc : c ∈ {2 ; 4 ; 6 ; 8} .
Si c = 2 on a : u = 1 donc le nombre cherché est : 201 .
Si c = 4 on a : u = 2 donc le nombre cherché est : 402 .
Si c = 6 on a : u = 3 donc le nombre cherché est : 603 .
Si c = 8 on a : u = 4 donc le nombre cherché est : 804 .
Si d ≠ 0 ;
on a donc : c ; d et u différents de 0 .
Si u = 1 ;
donc : 1 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 2 ;
donc : c = d = 1 ;
donc on a : 1 nombre ;
ou autrement dit : (2 x 1 - 1) nombre .
Si u = 2 ;
donc : 2 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 4 ;
donc : c = 1 , d = 3 ou c = 2 , d = 2 ou c = 3 , d = 1 ;
donc on a : 3 nombres ;
ou autrement dit : (2 x 2 - 1) nombres .
Si u = 3 ;
donc : 3 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 6 ;
donc : c = 1 , d = 5 ou c = 2 , d = 4 ou c = 3 , d = 3
ou c = 4 , d = 2 ou c = 5 , d = 1 ;
donc on a : 5 nombres ;
ou autrement dit : (2 x 3 - 1) .
On remarque que pour u on a : 2u - 1 nombres ;
donc les résultats obtenus sont :
(2 x 1 - 1) + (2 x 2 - 1) + (2 x 3 - 1) + (2 x 4 - 1) + (2 x 5 - 1)
+ (2 x 6 - 1) + (2 x 7 - 1) + (2 x 8 - 1) + (2 x 9 - 1)
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 .
Conclusion :
Le nombre total des nombres vérifiant la propriété énoncée est
la somme du nombre obtenu pour le cas d = 0 qui est de 4 ;
les 81 nombres obtenus pour le cas u , d et c non nuls ;
donc ce nombre est : 4 + 81 = 85 nombres de trois chiffres
dans lesquels le chiffre des unités est la moyenne du chiffre
des dizaines et celui des centaines ;
Soit x ce nombre ;
donc on a : x = 100c + 10d + u avec c ∈ {1 ; 2; ... ; 9} ;
d et u ∈ {0 ; 1 ; 2 ; .... ; 9} .
On a : c ≠ 0 car x est un nombre de trois chiffres .
Si d = 0 ;
donc : u = (c + d)/2 = (c + 0)/2 = c/2 ;
donc : c est un nombre pair ;
donc : c ∈ {2 ; 4 ; 6 ; 8} .
Si c = 2 on a : u = 1 donc le nombre cherché est : 201 .
Si c = 4 on a : u = 2 donc le nombre cherché est : 402 .
Si c = 6 on a : u = 3 donc le nombre cherché est : 603 .
Si c = 8 on a : u = 4 donc le nombre cherché est : 804 .
Si d ≠ 0 ;
on a donc : c ; d et u différents de 0 .
Si u = 1 ;
donc : 1 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 2 ;
donc : c = d = 1 ;
donc on a : 1 nombre ;
ou autrement dit : (2 x 1 - 1) nombre .
Si u = 2 ;
donc : 2 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 4 ;
donc : c = 1 , d = 3 ou c = 2 , d = 2 ou c = 3 , d = 1 ;
donc on a : 3 nombres ;
ou autrement dit : (2 x 2 - 1) nombres .
Si u = 3 ;
donc : 3 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 6 ;
donc : c = 1 , d = 5 ou c = 2 , d = 4 ou c = 3 , d = 3
ou c = 4 , d = 2 ou c = 5 , d = 1 ;
donc on a : 5 nombres ;
ou autrement dit : (2 x 3 - 1) .
On remarque que pour u on a : 2u - 1 nombres ;
donc les résultats obtenus sont :
(2 x 1 - 1) + (2 x 2 - 1) + (2 x 3 - 1) + (2 x 4 - 1) + (2 x 5 - 1)
+ (2 x 6 - 1) + (2 x 7 - 1) + (2 x 8 - 1) + (2 x 9 - 1)
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 .
Conclusion :
Le nombre total des nombres vérifiant la propriété énoncée est
la somme du nombre obtenu pour le cas d = 0 qui est de 4 ;
les 81 nombres obtenus pour le cas u , d et c non nuls ;
donc ce nombre est : 4 + 81 = 85 nombres de trois chiffres
dans lesquels le chiffre des unités est la moyenne du chiffre
des dizaines et celui des centaines ;
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