Bonjour,
Soit la fonction f définie par:
f(x)=(2x^2+3x)exp(-x)
1) F est du type uv donc la dérivée sera du type u'v+uv' donc:
u(x)=2x^2+3x donc u'(x)=4x+3
v(x)=exp(-x) donc v'(x)=-exp(-x)
f'(x)=(4x+3)exp(-x)-(2x^2+3x)exp(-x)
f'(x)=(4x+3-2x^2-3x)exp(-x)
f'(x)=(-2x^2+x+3)exp(-x)----->CQFD
2) Le signe de f' dépend de la parenthèse car exp(-x)>0 si x E R.
-2x^2+x+3=0
delta=(1)^2-4(-2)(3)=25
x(1)=(-1-5)/(-4) =3/2
x=(-1+5)/-4=-1
Selon le théorème du signe du polynôme, f' sera du signe de a à l'extérieur des racines donc f'(x)>0 sur ]-inf;-1[U]3/2;+inf[ donc f sera strictement décroissante sur cet intervalle.
f' sera du signe de -a à l'intérieur des racines donc f'(x)>0 sur ]-1;3/2[ donc f sera strictement croissante sur cet intervalle.
(Voir pièce jointe pour le tableau)
