Bonjour,
1)
En utilisant : sin(p) x sin(q) = 1/2[cos(p-q) - cos(p+q)]
avec p = q = 5x/2,
on obtient : sin²(5x/2) = 1/2[1 - cos(5x)]
De même, cos(p) x cos(q) = 1/2[cos(p-q) + cos(p+q)]
avec p = q = 3x/2,
⇒ cos²(3x/2) = 1/2[1 + cos(3x)]
Donc : sin²(5x/2) - cos²(3x/2) = 1/2[-cos(5x) - cos(3x)]
= -1/2[cos(4x + x) + cos(4x - x)]
= -1/2[cos(4x)cos(x) - sin(4x)sin(x) + cos(4x)cos(x) + sin(4x)sin(x)]
= -cos(4x)cos(x)
2) toujours avec la même formule de transformation de produit en somme :
cos(x)cos(2x)cos(4x)
= [cos(x)cos(2x)]cos(4x)
= 1/2[cos(x - 2x) + cos(x + 2x)]cos(4x)
= 1/2[cos(-x) +cos(3x)]cos(4x)
= 1/2[cos(x)cos(4x) + cos(3x)cos(4x)] (cos(-x) = cos(x))
= 1/2[1/2[cos(x - 4x) + cos(x + 4x)] + 1/2[cos(3x - 4x) + cos(3x + 4x)]]
= 1/4[cos(-3x) + cos(5x) + cos(-x) + cos(7x)]
= 1/4[cos(x) + cos(3x) + cos(5x) + cos(7x)]
