Bonjour,
1) La droite d'équation y = x correspond à une répartition égalitaire des revenus (diagonale d'équirépartition)
Les courbes Cf et Cg étant en-dessous de cette droite, les deux pays F et G présentent des inégalités de revenus.
2)
Graphiquement :
Pour F : pour x = 0,5, on lit f(x) ≈ 0,3 donc 30% environ des richesses sont détenues par les 50% des personnes les plus pauvres.
Pour G : pour = 0,5, on lit g(x) ≈ 0,4 donc 40% etc...
Par le calcul :
f(0,5) = (0,5³ + 0,5)/2 = 0,3125 soit 31,25 %
g(0,5) = (e^(0,5) - 1 + 0,5)/e ≈ 0,4226 soit 42,26 %
3) Le pays le plus égalitaire est donc G : La part de revenus détenue par les 50% les plus pauvres est plus grande que celle de F.
Partie C
a)
cf = 1 - 2(Somme de 0 à 1 de f(x)dx)
Primitive de f(x) : F(x) = 1/2(x⁴/4 + x²/2) = x⁴/8 + x²/4
Donc : Somme de 0 à 1 de f(x)dx = F(1) - F(0) = 1⁴/8 + 1²/4 - 0 = 1/8 + 1/4 = 3/8
et cf = 1 - 2x3/8 = 1 - 3/4 = 1/4
cg = 1 - 2(Somme de 0 à 1 de g(x)dx)
Primitive de g : G(x) = 1/e(eˣ - x + x²/2)
Donc : Somme de 0 à 1 de g(x)dx = G(1) - G(0) = 1/e[(e¹ - 1 + 1/2) - (e⁰)] = (e - 3/2)/e = 1 - 3/2e
et cg = 1 - 2(1 - 3/2e) = -1 + 3/e
b)
Somme de 0 à 1 de xdx = Aire comprise entre la droite y = x et l'axe des abscisses, prise entre x = 0 et x = 1 = 1/2
Donc cf/2 est l'aire comprise entre la droite y = x et la courbe Cf.
c) Quand la courbe Cf est confondue avec la diagonale y = x, alors cf/2 = 0 et donc cf = 0
et inversement, quand Cf est confondue avec l'axe des abscisses, (somme de f(x)dx = 0) alors cf/2 = 1/2 et donc cf = 1.
On en conclut que 0 ≤ cf ≤ 1
d) cf = 1/4 = 0,25
et cg = -1 + 3/e ≈ 0,10
donc cg < cf
Le coefficient de Gini du pays G est donc inférieur à celui de F, ce qui transcrit une moindre inégalité de la répartition des richesses.
