dans un triangle équilatéral, le centre de Gravité G est placé au tiers de la hauteur, donc on a : Zi - Za = 1,5 ( Zg - Za )
donc Xi - 0 = 1,5 ( 2 - 0 )
Yi - 3 = 1,5 ( 1 - 3 )
d' où Xi = 3
Yi = 0
on trouve ainsi Zi = 3
L' équation de la droite perpendiculaire à la droite ( AG ) ou ( AI ) est :
Y = X - 3 puisque le point I appartient à cette perpendiculaire .
Donc l' affixe de B est Zb = X + i ( X - 3 )
Dans le triangle équilatéral ABC, on a tan30° = IB/IA
avec IA = 3 rac(2) = 4,24264 cm environ
donc 0,57735 = IB / 4,24264
d' où IB = 0,57735 x 4,24264 = 2,4495 cm environ
conclusion : IB² = 6
résolvons : ( X - 3 )² + Y² = 6 avec Y = X - 3
donc ( X - 3 )² + ( X - 3 )² = 6
donc ( X - 3 )² = 3
donc X - 3 = - rac(3) OU X - 3 = + rac(3)
X = 3 - rac(3) OU X = 3 + rac(3)
d' où Y = - rac(3) OU Y = + rac(3)
conclusion : les affixes de B et C sont Zb = (3-rac3) - i rac3
et Zc = (3+rac3) + i rac3
Pour trouver graphiquement les points B et C, il suffit de placer les points AGI qui sont alignés, puis de tracer la perpendiculaire à (AG) passant par le point I, enfin de piquer le compas sur le point G ( compas ouvert à 2,83 cm = 2 rac2 ) puis de tourner ! Les points B et C sont l' intersection de ce Cercle avec la perpendiculaire tracée juste avant .
autre méthode :
1a) comme le point C s' obtient par rotation de 120° autour de G, ceci en partant du point A, on a bien : Za - Zg = (cos120° + i sin120°) (Zc - Zg)
1b) donc 3i - (2+i) = (-0,5 + 0,866 i) (x + i(x-3) - 2 - i)
2i - 2 = (-0,5 + 0,866 i) [x-2 + i(x-4)]
2i - 2 = 1 + 2 rac3 - 1,366x + i (2 - rac3 + 0,366x)
donc -2 = 1 + 2 rac3 - 1,366x
donc -3 - 2rac3 = - 1,366x
donc -6,464 = - 1,366x
donc 4,732 = x
conclusion : Zc = (3 + rac3) + i rac3
2°) on trouve de même : Zb = (3 - rac3) - i rac3
3°) Zi = ( Zb + Zc ) / 2 = 3
4 et 5) j' ai expliqué ci-dessus comment procéder !
