Bonsoir,
On considère la fonction f définie et continue sur ℝ* par f(x) = 1/x
f est alors dérivable sur ℝ, et f'(x) = -1/(x²)
Donc f admet une tangente en M d’abscisse a∈ℝ* d'équation y = f'(a)(x-a)+f(a)
D'où y = (1/a)-((x-a)/(a²))
y = (a²-a(x-a))/(a³)
y = (a²-ax+a²)/(a³)
y = (2a²-ax)/(a³)
y = (2a-x)/(a²)
On pose g la fonction définie sur ℝ par g(x) = (2a-x)/(a²) avec a∈ℝ* fixé.
D'où g(a) = f(a)
Soient A(x₀;y₀) et B(x₁;y₁)
Or d'après le graphe, x₀ = 0 et y₁ = 0
D'où A(0;y₀) et B(x₁;0)
M est le milieu de [AB], si et seulement si, A(0;2g(a)) et B(2a;0)
On pose alors y₀ = 2g(a) et x₁ = 2a
Alors :
M est le milieu de [AB] ⇔ (y₀+y₁)/2 = (2a-(x₀+x₁)/2)/(a²) ⇔ (2g(a)+0)/2 = (2a-(0+2a)/2)/(a²) ⇔ 2g(a)/2 = (2a-(2a/2)/(a²) ⇔ g(a) = (2a-a)/(a²) ⇔ f(a) = g(a)
Or f(a) = g(a) est toujours vrai
Donc par succession d'équivalences, M est le milieu de [AB]
