j' ai déjà répondu à cet exercice, donc je résume :
La courbe passe par les points A ( -0,5 ; -2 ) et B ( 0 ; -3 )
La tangente est horizontale en B donc f '(0) = 0
ceci donne : -2 = a + 2b + 4c
-3 = a + b + c
0 = -b - 2c donc b = -2c
remplaçons "b" par "-2c" dans les deux premières équations ci-dessus :
-2 = a - 4c + 4c donc a = -2
-3 = a - 2c + c donc -3 = -2 - c donc c = +1
conclusion : a = -2 ; b = -2 ; et c = +1
partie B :
f(x) = -2 - 2/(x+1) + 1/(x+1)²
1°) f '(x) = 2/(x+1)² - 2(x+1)/[(x+1)puissance4] = 2/(x+1)² - 2/[(x+1)puiss3]
= [2(x+1) -2] /[(x+1)puiss3]
= 2x/[(x+1)puiss3]
Le dénominateur de la dérivée est positif pour x > -1
( ce qui est le cas ici )
donc cette dérivée est seulement négative pour -1 < x < 0
Tableau :
x -1 -0,634 0 2 3 +infini
f '(x) - -26 - 0 + + +
f(x) -infini 0 -3 -2,55 -2,44 -2
remarque : -0,634 est une valeur approchée !
2°) calculons la valeur de x pour laquelle f(x) est nulle :
-2(x+1)² - 2(x+1) + 1 = 0
-2x² - 4x - 2 - 2x - 2 + 1 = 0
-2x² - 6x - 3 = 0
x² + 3x + 1,5 = 0
Discriminant = 3² - 4 * 1,5 = 9 - 6 = 3
d' où la solution x = [-3 + racine(3)] / 2 = -1,5 + (rac3)/2
= -0,634 environ
conclusion : f(x) < 0 pour x > -1,5 + (rac3)/2
3°) primitive F(x) = -2x - 2Ln(x+1) - 1/(x+1) + k
donc F(0) = 0 - 2 Ln1 - 1 + k
donc F(0) = 0 - 0 - 1 + k
d' où F(0) est nulle pour k = 1
conclusion :
la primitive cherchée est F(x) = -2x - 2 Ln(x+1) - 1/(x+1) + 1
la fonction F est définie pour x > -1
F est croissante pour -1 < x < -0,634
F est décroissante pour x > -0,634
