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1) calculer la dérivée de la fonction f
f(x) = 2x³ - 3x² - 72x ⇒ f '(x) = 6x² - 6x - 72 = 6(x² - x - 12)
2) étudier le signe de f '(x) sur R
cherchons les racines de l'équation de f '(x) = 0
6(x² - x - 12) = 0 ⇔ x² - x - 12 = 0
Δ = b² - 4ac = 1 + 4*12 = 49 ⇒ √49 = 7
donc x1 = 1 + 7)/2 = 4
x2 = 1 - 7)/2 = - 3
x - ∞ - 3 4 + ∞
+ - +
f '(x) signe de a signe de - a signe de a
3) établir le tableau de variation de f sur R
f(x) = 2x³ - 3x² - 72x = x(2x² - 3x - 72)
f(x) = 0 = x(2x² - 3x - 72) ⇒ x = 0 ou 2x² - 3x - 72 = 0
Δ = 9 + 4*2*72 = 576 ⇒ √576 = 24
x1 = 3 + 24)/4 = 27/4
x2 = 3 - 24)/4 = - 21/4
Tableau de variation
x - ∞ -21/4 - 3 0 4 27/4 + ∞
0 0 0
f(x) - ∞ →→→→→→→189 →→→→→→→- 208→→→→→→→+∞
croissante décroissante croissante
4) donner l'équation de la tangente en O
L'équation de la tangente est de la forme y = ax avec a < 0
soit y = - 145/2) x
f(x) = 2x³ - 3x² - 72x ⇒ f '(x) = 6x² - 6x - 72 = 6(x² - x - 12)
2) étudier le signe de f '(x) sur R
cherchons les racines de l'équation de f '(x) = 0
6(x² - x - 12) = 0 ⇔ x² - x - 12 = 0
Δ = b² - 4ac = 1 + 4*12 = 49 ⇒ √49 = 7
donc x1 = 1 + 7)/2 = 4
x2 = 1 - 7)/2 = - 3
x - ∞ - 3 4 + ∞
+ - +
f '(x) signe de a signe de - a signe de a
3) établir le tableau de variation de f sur R
f(x) = 2x³ - 3x² - 72x = x(2x² - 3x - 72)
f(x) = 0 = x(2x² - 3x - 72) ⇒ x = 0 ou 2x² - 3x - 72 = 0
Δ = 9 + 4*2*72 = 576 ⇒ √576 = 24
x1 = 3 + 24)/4 = 27/4
x2 = 3 - 24)/4 = - 21/4
Tableau de variation
x - ∞ -21/4 - 3 0 4 27/4 + ∞
0 0 0
f(x) - ∞ →→→→→→→189 →→→→→→→- 208→→→→→→→+∞
croissante décroissante croissante
4) donner l'équation de la tangente en O
L'équation de la tangente est de la forme y = ax avec a < 0
soit y = - 145/2) x
[tex]Bonjour ; \\\\ \textit{1) f(x) = } 2x^3-3x^2-72x \Rightarrow f'(x) = 6x^2-6x-72\\\\ = 6(x^2-x-12) .\\\\ \textit{2) f' s'annule si } x^2-x-12 = 0 .\\\\ \textit{Le discriminant de cette expression est : } \Delta = 1 + 48 = 49 = 7^2 ; \\\\ \textit{donc : } x_1 = \dfrac{1-7}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3 \textit{ et } x_2 = \dfrac{1+7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 . [/tex]
[tex]\textit{D'apr\`es le tableau ci-joint , on a : } \\\\ \textit{f'(x)} \ \textgreater \ 0 \textit{ pour x } \in ]-\infty ; -3[\cup]4;+\infty[ ; \\\\ \textit{et f'(x)} \ \textless \ 0 \textit{ pour x } \in ]-3 ; 4[ .[/tex]
[tex]\textit{3) Le tableau de variations est sur le fichier ci-joint .}[/tex]
[tex]\textit{4) On a : f'(0) = - 72 et f(0)=0 ; donc on a : } \\\\ -72 = \dfrac{y - 0}{x - 0} \textit{ donc : } y = -72x .[/tex]
[tex]\textit{D'apr\`es le tableau ci-joint , on a : } \\\\ \textit{f'(x)} \ \textgreater \ 0 \textit{ pour x } \in ]-\infty ; -3[\cup]4;+\infty[ ; \\\\ \textit{et f'(x)} \ \textless \ 0 \textit{ pour x } \in ]-3 ; 4[ .[/tex]
[tex]\textit{3) Le tableau de variations est sur le fichier ci-joint .}[/tex]
[tex]\textit{4) On a : f'(0) = - 72 et f(0)=0 ; donc on a : } \\\\ -72 = \dfrac{y - 0}{x - 0} \textit{ donc : } y = -72x .[/tex]
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