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résolu

bonsoir, je suisen 1STMG et j'ai un dm de maths pour la rentrée, vous pouvez m'aider svp!

Le coût total, en €, pour la fabrication d'un produit est donné par:
C(x) = 0.01x² + 0.4x + 9 avec x∈[0.100]
ou x est la quantité produite. On se limite a une production de moins de 100 produits.
Le prix de vente unitaire est de 1.15€.

1) si on produit 20 objets que vaut C(20). Quelle est la recette pour 20 objets vendus? Quel est le bénéfice pour 20 objets vendus?
2) mêmes questions avec 60 objets.
3) pour quelles quantités x le coût de production vaut il 86€
4) exprimer en fonction de la quantité x,
a. la fonction recette R(x)
b. la fonction bénéfice B(x)
5) donner les cordonnées du sommet de la parabole de la fonction B. En déduire la ou les quantités à produire pour réaliser un bénéfice maximal
6) résoudre B(x) = 0. Donner l'allure de la parabole. En déduire pour quelles quantités produites on est bénéficiaire.
7) calculer la fonction C'(x) dérivée de C(x). Calculer C'(30)
8) pour quelle valeur de x a t on C'(x) = 0?

Répondre :

Bonsoir ;

1)

Soit R la fonction définie sur [0 ; 100] ;
et qui exprime les revenus pour la vente de x produits .

Soit B la fonction définie sur [0 ; 100] par :
B(x) = R(x) - C(x) et qui exprime les bénéfices
réalisées pour la vente de x produits .
 
C(20) = 0,01 * 20² + 0,4 * 20 + 9 = 21€ ;
R(x) = 1,15 * 20 = 23 € .
B(20) = 23 - 21 = 2 € .

2)

C(60) = 0,01 * 60² + 0,4 * 60 + 9 = 69 € ;
R(60) = 1,15 * 60 = 69 € ;
B(60) = 69 - 69 = 0 € .

3)

C(x) = 86 ;
donc : 0,01x² + 0,4x + 9 = 86 ;
donc : 0,01x² + 0,4x - 77 = 0 ;
donc : Δ = 0,4² - 4 * (- 77) * 0,01 = 3,24 = 1,8² ;
donc : x1 = (- 0,4 + 1,8)/0,02 = 70
et x2 = (- 0,4 - 1,8)/0,02 < 0 : donc c'est une solution à écarter .

4)

R(x) = 1,15x ;
B(x) = R(x) - C(x) = 1,15x - 0,01x² - 0,4x - 9 = - 0,01x² + 0,75x - 9 .

5)

L'abscisse du sommet S de la parabole représentant la fonction B est :
(- 0,75)/(2 * (- 0,01)) = 0,75/0,02 = 37,5 ;
et son ordonnée est : - 0,01 * 37,5² + 0,75 * 37,5 - 9 = 5,06 € .

Les quantités à produire pour réaliser un bénéfice maximal sont :
37 ou 38 unités : le bénéfice réalisé est : 5,06 € .

6)

B(x) = 0 ;
donc : - 0,01x² + 0,75x - 9 = 0 ;
donc : Δ = 0,75² - 4 * 0,01 * 9 = 0,2025 = 0,45² ;
donc : x1 = (- 0,75 + 0,45)/(- 0,02) = 0,3/0,02 = 15 ;
et : x2 = (- 0,75 - 0,45)/(- 0,02) = 1,2/0,02 = 60 ;

La représentation de B est la parabole comme sur le fichier ci-joint .

On voit que : B(x) > 0 pour x ∈ ]15 ; 60[ . 

7)

C'(x) = 0,02x + 0,4 ;
donc : C ' (x) = 0,02 * 30 + 0,4 = 1 .

8)

C ' (x) = 0 ;
donc : 0,02x + 0,4 = 0 ;
donc : 0,02 x = - 0,4 ;
donc : x = - 0,4/0,02 = - 20 .








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